Exercícios Resolvidos de Conservação de Energia do Volume de Controle

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Enunciado

Um conjunto cilindro-pistão fechado, contendo um vapor, perde calor a uma taxa constante de 350   W . Sabendo que a energia do vapor varia a uma taxa constante de 100   W e que esse processo de resfriamento é isobárico a 1000   P a , determine a taxa de variação do volume do vapor.

Passo 1

O exercício pede para a gente determinar a taxa de variação do volume do vapor d V V . C . d t . O primeiro passo para resolver essa questão é entender todas as informações do problema que o enunciado dá pra gente. Por isso, a figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular d V V . C . d t .

O Q ˙ da figura é a taxa de calor que sai do vapor. Como o vapor perde calor, essa taxa Q ˙ é negativa!

Q ˙ < 0       ⟹       Q ˙ = - 350   W

d E d t é a taxa de variação da energia do vapor. P é a pressão do vapor durante o processo de resfriamento.

Esses são todos os dados que a questão nos informa. Agora, vamos determinar quais equações nós usamos para calcular d V V . C . d t .

Passo 2

Quando o vapor perde calor, seu volume diminui. Isso significa que o vapor comprime e recebe uma taxa trabalho de movimento de fronteira W ˙ . Como esse trabalho é isobárico, a quantidade de energia por trabalho que o vapor recebe W , quando a fronteira se movimenta pode ser calculado pela seguinte fórmula.

W = P ⋅ Δ V

Δ V é a variação de volume do vapor. No entanto, nós não sabemos quando vale W nem queremos calcular Δ V . Então como fazemos para transformar essa fórmula em uma equação que tenha as variáveis que precisamos calcular ( W ˙ e d V V . C . d t )?

O primeiro passo para transformar a fórmula antiga é dividir todos os termos dessa equação pelo intervalo de tempo de duração processo Δ t .

W Δ t = P ⋅ Δ V Δ t

O passo final é fazer o intervalo de tempo Δ t ficar cada vez menor. No limite, quando Δ t tende a zero, essas divisões viram derivadas! Ou seja, elas viram as taxas de variação em relação ao tempo!

lim Δ t ⟶ 0 ⁡ W Δ t = l i m Δ t ⟶ 0 P ⋅ Δ V Δ t       ⟹       lim Δ t ⟶ 0 ⁡ W Δ t = P ⋅ l i m Δ t ⟶ 0 Δ V Δ t       ⟹       W ˙ = P ⋅ d V V . C . d t

Mas como podemos calcular d V V . C . d t com essa fórmula se não sabemos quanto vale W ˙ ? Veremos isso no próximo passo!

Passo 3

Além disso, como o conjunto cilindro-pistão está fechado, não entra massa nele nem sai massa dele. Ou seja, o conjunto cilindro-pistão forma um sistema fechado. Então para calcular a potência W ˙ do vapor, temos que usar a primeira lei para sistemas fechados.

d E d t = Q ˙ - W ˙     ⟹       W ˙ = Q ˙ - d E d t

Substituindo a fórmula de potência movimento de fronteira na equação acima, achamos a fórmula para calcular d V V . C . d t .

W ˙ = Q ˙ - d E d t       ⟹       P ⋅ d V V . C . d t = Q ˙ - d E d t       ⟹       d V V . C . d t = Q ˙ - d E d t P

Olhando para a fórmula acima, nós vemos que temos informações sobre todas as variáveis que precisamos ( Q ˙ , d E d t e P ) para calcular d V V . C . d t . Então vamos começar a fazer as contas!

Passo 4

d V V . C . d t = Q ˙ - d E d t P       ⟹       d V V . C . d t = - 350 - 100 1000       ⟹       d V V . C . d t = - 0,45   m 3 s

Atenção! O valor negativo de d V V . C . d t significa que o vapor comprimiu!

Resposta

d V V . C . d t = - 0,45   m 3 s

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