Exercícios Resolvidos de Conservação de Energia do Volume de Controle

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Enunciado

Uma panela com 10   k g de água líquida a 20   ° C e a 100   k P a começa a ser aquecida a uma taxa constante de 1 00   k W . Para aquecer a água mais rápido, uma pessoa derrama o total de 1   k g de água quente na panela durante todo o seu aquecimento. Essa adição de água é constante e acrescenta 15   k J de energia à panela a cada quilograma k g . No entanto, a panela perde o total 0,1   k g de água com os respingos que saem dela constantemente. Esses respingos diminuem 5   k J / k g de energia da panela. Sabendo que esse aquecimento dura 10   m i n , determine a energia final da água que se encontra dentro da panela. Considere que a taxa de variação da energia da panela é constante. Despreze a variação de volume da água na panela. Use a tabela abaixo.

Passo 1

O exercício pede para a gente determinar a energia da água após ela passar por 10   m i n de aquecimento E 2 . O primeiro passo para resolver essa questão é entender todas as informações do problema que o enunciado dá pra gente. Por isso, a figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular E 2 .

O Q ˙ da figura é a taxa de calor que a água ganha. m 1 é a massa, P 1 é a pressão e T 1 é a temperatura da água antes de ser aquecida. e s , m a s s a é a energia por quilograma que sai da panela por causa dos respingos de água. e e , m a s s a é a energia por quilograma que entra na panela por causa da adição de água. Δ t é a duração do processo de aquecimento da água. m e é a quantidade total de água que entrou na panela e m s é a quantidade total de água que saiu da panela por causa dos respingos.

Passo 2

Como a panela está perdendo e ganhando massa de água, ela perde energia por conta dessa saída e dessa entrada de massa. Ou seja, a panela é um volume de controle. Por isso, temos que usar a primeira lei para volumes de controle.

d E d t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

Como a taxa de variação da energia E da panela d E d t é constante que a derivada de uma reta, podemos calcular d E d t como a derivada de uma reta Δ E Δ t ! Δ E é a variação de energia da água na panela.

d E d t = Δ E Δ t

Por isso:

Δ E Δ t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

Δ E = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a ⋅ Δ t

Mas Δ E é igual à energia que a água passou a ter depois de ser aquecida E 2 menos a energia que a água tinha antes de ser aquecida E 1 .

Δ E = E 2 - E 1

E 2 - E 1 = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a ⋅ Δ t

E 2 = E 1 + Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a ⋅ Δ t

O primeiro passo para calcular E 2 é entender como encontrar o valor de todas as variáveis da primeira lei da termodinâmica acima! Para conseguir fazer isso, temos que entender primeiro o que cada termo significa! Esse será nosso próximo passo.

Passo 3

E ˙ e , m a s s a é a taxa de energia que entra no volume de controle por conta da entrada de massa no volume de controle.   E ˙ s , m a s s a é a taxa de energia que sai do volume de controle por conta da saída de massa do volume de controle. W ˙ é a taxa de trabalho realizado pela água dentro da panela.

Esses são todos os dados que a questão nos informa. Agora, vamos determinar como calcular cada termo da equação de E 2 !

Passo 4

Como a variação do volume da água na panela é desprezível, a água não realiza nem sofre trabalho. Por isso, a taxa de trabalho W ˙ vale:

W ˙ = 0   k W

A taxa de energia que sai do volume de controle por conta da saída de massa E ˙ s , m a s s a é a vazão mássica de vapor que sai da panela através dos respingos m ˙ s multiplicada pela energia por quilograma de água que sai do tanque e s , m a s s a .

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ e s , m a s s a

O problema é que ainda não temos o valor de massa m ˙ s que a panela perde a cada segundo. Conhecemos apenas o valor de massa m s que a panela perde no total. Como o enunciado diz que os respingos saem constantemente da panela, a taxa de saída de massa da panela m ˙ s é constante. Por isso m ˙ s é a massa total dividida m s pelo intervalo de tempo Δ t durante o qual a massa sai.

m ˙ s = m s Δ t

O mesmo raciocínio vale para calcular a vazão de entrada de água na panela m ˙ e a partir da quantidade total de água que a panela recebe m e . Como o enunciado diz que a adição de água na panela é constante, a taxa de entrada de massa na panela m ˙ e é constante. Por isso m ˙ e é a massa total m e dividida pelo intervalo de tempo Δ t durante o qual a massa entra.

m ˙ e = m e Δ t

Saber quanto vale m ˙ e é importante para calcular E ˙ e , m a s s a , porque m ˙ e faz parte da fórmula de E ˙ e , m a s s a .

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ e e , m a s s a

No próximo passo vamos aprender a encontrar o valor da última variável que falta: E 1 .

Passo 5

A quantidade de energia E 1 que a água tinha antes dela ser aquecida é a energia interna específica dela u 1 multiplicada pela massa que ela tinha m 1 . A energia cinética E C 1 e a energia potencial E P G 1 não aparecem nessa fórmula, porque a panela fica parada. Ou seja, ela não muda sua velocidade nem sua altitude.

E 1 = m 1 ⋅ u 1

u 1 pode ser encontrada pela tabela de propriedades do enunciado. O valor dela está na mesma linha da temperatura de 30   ° C e na mesma coluna da energia interna específica.

Depois de aprender isso tudo podemos iniciar as contas!

Passo 6

Vamos começar pelo cálculo de m ˙ s e m ˙ e .

m ˙ s = m s Δ t       ⟹       m ˙ s = 0,1 600       ⟹       m ˙ s = 0,000167   k g s

m ˙ e = m e Δ t       ⟹       m ˙ e = 1 600       ⟹       m ˙ e = 0,001667   k g s

Agora podemos calcular E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a .

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ e e , m a s s a       ⟹       E ˙ e , m a s s a = 0,001667 ⋅ 15       ⟹       E ˙ e , m a s s a = 0,025005   k W

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ e s , m a s s a       ⟹       E ˙ s , m a s s a = 0,000167 ⋅ 5       ⟹       E ˙ s , m a s s a = 0,000835   k W

Achamos o valor de u 1 através da tabela abaixo.

u 1 = 83,94   k J k g

Com u 1 calculamos E 1 .

E 1 = m 1 ⋅ u 1       ⟹       E 1 = 10 ⋅ 83,94       ⟹       E 1 = 839,4   k J

Substituindo E 1 na fórmula de E 2 :

E 2 = E 1 + Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a ⋅ Δ t

E 2 = 839,4 + 100 - 0 + 0,025005 - 0,000835 ⋅ 600

E 2 = 60853,9   k J

Resposta

E 2 = 60853,9   k J

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