Exercícios Resolvidos de Conservação de Energia do Volume de Controle

Ver Teoria

Enunciado

Um conjunto cilindro-pistão está vazando vapor superaquecido d’água por um furo com 1   c m a uma velocidade média de 5   m / s . O vapor que sai está a 4 00   ° C e 200   k P a . Cada quilograma desse vapor diminui 3276,55   k J de energia do conjunto. O processo de vazamento dura 2   m i n e a taxa de variação da energia do vapor d’água presente no conjunto cilindro-pistão permanece constante durante esse intervalo de tempo. O pistão possui 0,4   m de diâmetro. Ele desce com uma velocidade de 0,05   m / s . Sabendo que o vapor do conjunto perde 2 00   k W de calor durante esse processo e considerando que o processo de vazamento é isobárico, calcule a variação de energia do vapor dentro do conjunto do início ao fim do vazamento. Use a tabela termodinâmica abaixo.

Passo 1

O exercício pede para a gente determinar a variação da energia vapor superaquecido d’água do cilindro-pistão Δ E . O primeiro passo para resolver essa questão é entender todas as informações do problema que o enunciado dá pra gente. Por isso, a figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular Δ E .

O Q ˙ da figura é a taxa de calor que o vapor d’água perde. P é a pressão e T é a temperatura do vapor que sai do cilindro-pistão. e s , m a s s a é a energia por quilograma que sai do cilindro-pistão por causa da saída de vapor. ν s é a velocidade média do vapor saindo do cilindro-pistão. d E d t é a taxa de variação da energia do cilindro-pistão. Δ t é a duração do processo de vazamento do cilindro-pistão! D é o diâmetro do furo por onde o vapor sai. ν p i s t ã o é a velocidade com a qual o pistão se move. D p i s t ã o é o diâmetro do pistão.

Passo 2

Como o cilindro-pistão está perdendo massa vapor d’água, ele perde energia por conta dessa saída de massa. Ou seja, o cilindro-pistão é um volume de controle. Por isso, temos que usar a primeira lei para volumes de controle.

d E d t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

Como a taxa de variação da energia E do cilindro-pistão d E d t é constante que a derivada de uma reta, podemos calcular d E d t como a derivada de uma reta Δ E Δ t !

d E d t = Δ E Δ t

Por isso:

Δ E Δ t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

Δ E = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a ⋅ Δ t

O primeiro passo para calcular Δ E é entender como encontrar o valor de todas as variáveis da primeira lei da termodinâmica acima! Para conseguir fazer isso, temos que entender primeiro o que cada termo significa!

E ˙ e , m a s s a é a taxa de energia que entra no volume de controle por conta da entrada de massa no volume de controle.   E ˙ s , m a s s a é a taxa de energia que sai do volume de controle por conta da saída de massa do volume de controle. W ˙ é a taxa de trabalho realizado pelo vapor d’água de dentro do cilindro-pistão.

Esses são todos os dados que a questão nos informa. Agora, vamos determinar como calcular cada termo da equação de Δ E .

Passo 3

Quando o vapor perde calor e vaza, seu volume diminui. Isso significa que o vapor comprime e recebe uma taxa trabalho de movimento de fronteira W ˙ . Como esse trabalho é isobárico, a quantidade de energia por trabalho que o vapor recebe W , quando a fronteira se movimenta pode ser calculado pela seguinte fórmula.

W = P ⋅ Δ V

Δ V é a variação de volume do vapor. No entanto, nós não sabemos quando vale W nem Δ V . Então como fazemos para transformar essa fórmula em uma equação que tenha os dados informados pelo enunciado ( d V V . C . d t e P ) e a taxa de trabalho precisamos achar W ˙ ?

O primeiro passo para transformar a fórmula antiga é dividir todos os termos dessa equação pelo intervalo de tempo de duração processo Δ t .

W Δ t = P ⋅ Δ V Δ t

O passo final é fazer o intervalo de tempo Δ t ficar cada vez menor. No limite, quando Δ t tende a zero, essas divisões viram derivadas! Ou seja, elas viram as taxas de variação em relação ao tempo!

lim Δ t ⟶ 0 ⁡ W Δ t = l i m Δ t ⟶ 0 P ⋅ Δ V Δ t       ⟹       lim Δ t ⟶ 0 ⁡ W Δ t = P ⋅ l i m Δ t ⟶ 0 Δ V Δ t       ⟹       W ˙ = P ⋅ d V V . C . d t

d V V . C . d t pode ser calculado como a velocidade com a qual o pistão desce ν p i s t ã o multiplicada pela área do pistão A p i s t ã o . Essa área é calculada a partir do diâmetro do pistão D p i s t ã o .

d V V . C . d t = - ν p i s t ã o ⋅ A p i s t ã o       ⟹       d V V . C . d t = - ν p i s t ã o ⋅ π ⋅ D p i s t ã o 2 4

O sinal negativo é necessário, porque o volume de vapor diminui. Logo, a taxa de variação do volume é negativa.

d V V . C . d t < 0

No próximo passo, vamos aprender a calcular os termos que restam!

Passo 4

A taxa de energia que sai do volume de controle por conta da saída de massa E ˙ s , m a s s a é a vazão mássica de vapor que sai do cilindro-pistão m ˙ s multiplicada pela energia por quilograma de água que sai do cilindro-pistão e s , m a s s a .

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ e s , m a s s a

m ˙ s pode ser calculada, multiplicando a vazão volumétrica de vapor pela massa específica ρ da água! Só que a vazão volumétrica é a velocidade média da água saindo do cilindro-pistão ν s multiplicada pela área do furo pelo qual o vapor sai A .

m ˙ s = ρ ⋅ V ˙ s       ⟹       m ˙ s = ρ ⋅ ν s ⋅ A ⏟ π ⋅ D 2 4       ⟹       m ˙ s = ρ ⋅ ν s ⋅ π ⋅ D 2 4

A massa específica é o inverso do volume específico do vapor d’água.

ρ = 1 v

Esse volume específico v da água pode ser encontrado na tabela de vapor superaquecido. Seu valor está na mesma linha da temperatura de 4 00   ° C e na mesma coluna do volume específico.

Como não existe vapor entrando no volume de controle, E ˙ e , m a s s a vale:

E ˙ e , m a s s a = 0   k W

Já sabemos como achar todas as variáveis da fórmula de Δ E . Então vamos começar a fazer as contas!

Passo 5

Primeiro devemos encontrar o v da água na tabela.

v = 1 , 54930   m 3 k g

Com v podemos encontrar ρ .

ρ = 1 v       ⟹     ρ = 1 1,54930       ⟹         ρ = 0,6455   k g m 3

Sabendo o valor de ρ , conseguimos calcular a vazão mássica m ˙ s .

m ˙ s = ρ ⋅ ν s ⋅ π ⋅ D 2 4       ⟹       m ˙ s = 0,6455 ⋅ 5 ⋅ π ⋅ 0,01 2 4       ⟹       m ˙ s = 0,00025   k g / s

Todos os passos de cálculo realizados até agora serviram para achar E ˙ s , m a s s a .

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ e s , m a s s a       ⟹     E ˙ s , m a s s a = 0,00025 ⋅ 3276,55       ⟹       E ˙ s , m a s s a = 0 , 819   k W

A taxa de trabalho W ˙ vale:

W ˙ = P ⋅ - ν p i s t ã o ⋅ π ⋅ D p i s t ã o 2 4

W ˙ =   200 ⋅ - 0,05 ⋅ π ⋅ 0,4 2 4

W ˙ = - 1,257   k W

Enfim podemos calcular Δ E .

Δ E = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a ⋅ Δ t

Δ E = - 2 00 - - 1,257 + 0 - 0 , 819 ⋅ 12 0

Δ E = - 23947   k J

Resposta

Δ E = - 23947   k J

Exercícios de Livros Relacionados

Um aquecedor a resistência de 4k W foi utilizado em um processo de aquecimento de agua por 2 horas para elevar a temperatura da agua ao nível desejado. Determine a quantidade de energia elétrica usada
Quais sãos os diferentes mecanismos para transferir energia de ou para um volume de controle?
Repita o Problema 3-131 para o isobutano.
Quais são os diferentes mecanismos de transferência de energia de ou para um volume de controle?
Considere um automóvel viajando a uma velocidade constante ao longo de uma estrada. Determine os sentidos das interações de calor e trabalho considerando os seguintes sistemas: ( a ) o radiador do car