Exercícios Resolvidos de Conservação de Energia do Volume de Controle

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Enunciado

Um tanque rígido está sendo preenchido com nitrogênio N 2 a uma vazão volumétrica constante de 0,3   m 3 / s . O nitrogênio que entra está a 400   K e 300   k P a . Cada quilograma desse nitrogênio aumenta 10   k J de energia do tanque. O processo de enchimento dura 1   m i n e a taxa de variação da energia do nitrogênio presente no tanque permanece constante durante esse intervalo de tempo. Sabendo que o nitrogênio do tanque perde 100   k W de calor durante esse processo, calcule a variação de energia do N 2 dentro do tanque do início ao fim do enchimento. Considere que o nitrogênio se comporta como um gás ideal.

Passo 1

O exercício pede para a gente determinar a variação da energia do N 2 do tanque rígido Δ E . O primeiro passo para resolver essa questão é entender todas as informações do problema que o enunciado dá pra gente. Por isso, a figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular Δ E .

O Q ˙ da figura é a taxa de calor que o N 2 perde. A taxa Q ˙ é negativa, porque a energia está saindo do tanque rígido!

Q ˙ < 0       ⟹       Q ˙ = - 100   k W

P é a pressão e T é a temperatura do gás que entra no tanque rígido. e e , m a s s a é a energia por quilograma que entra no tanque rígido por causa da entrada de gás. V ˙ e é a vazão volumétrica de gás que entra no tanque rígido. d E d t é a taxa de variação da energia do tanque rígido. Δ t é a duração do processo de enchimento do tanque!

Como a taxa de variação da energia E do tanque rígido d E d t é constante que a derivada de uma reta, podemos calcular d E d t como a derivada de uma reta Δ E Δ t !

Esses são todos os dados que a questão nos informa. Agora, vamos determinar quais equações nós usamos para calcular Δ E .

Passo 2

Como o tanque rígido está recebendo massa de N 2 , ele ganha energia por conta dessa entrada de massa. Ou seja, o tanque rígido é um volume de controle. Por isso, temos que usar a primeira lei para volumes de controle.

d E d t ⏞ Δ E Δ t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

Δ E Δ t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

Δ E = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a ⋅ Δ t

O primeiro passo para calcular Δ E é entender como encontrar o valor de todas as variáveis da primeira lei da termodinâmica acima! Para conseguir fazer isso, temos que entender primeiro o que cada termo significa!

E ˙ e , m a s s a é a taxa de energia que entra no volume de controle por conta da entrada de massa no volume de controle.   E ˙ s , m a s s a é a taxa de energia que sai do volume de controle por conta da saída de massa do volume de controle.

Agora vamos entender como calcular cada termo da equação!

Passo 3

Como o volume de tanque rígido não varia, o nitrogênio não realiza nem sofre trabalho. Por isso, a taxa de trabalho W ˙ vale:

W ˙ = 0   k W

A taxa de energia que entra no volume de controle por conta da entrada de massa E ˙ e , m a s s a é a vazão mássica de nitrogênio que entra no tanque m ˙ e multiplicada pela energia por quilograma de nitrogênio que entra no tanque e e , m a s s a .

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ e e , m a s s a

m ˙ e pode ser calculada, multiplicando a vazão volumétrica de N 2 pela massa específica ρ do nitrogênio!

m ˙ e = ρ ⋅ V ˙ e

A massa específica é o inverso do volume específico do gás nitrogênio v .

ρ = 1 v

Esse volume específico v do N 2 pode ser calculado pela fórmula de gás perfeito aplicada ao nitrogênio.

P ⋅ v = R N 2 ⋅ T       ⟹       v = R N 2 ⋅ T P

R N 2 é a constante de gás do N 2 ela vale:

R N 2 = 0,29680   k J k g ⋅ K  

Como não existe gás saindo do volume de controle, E ˙ s , m a s s a vale:

E ˙ s , m a s s a = 0   k W

Já sabemos como achar todas as variáveis da fórmula de Δ E . Então vamos começar a fazer as contas!

Passo 4

Primeiro devemos calcular v do N 2 pela formula de gás perfeito.

v = R N 2 ⋅ T P       ⟹       v = 0,29680 ⋅ 400 300       ⟹       v = 0,396   m 3 k g

Com v podemos encontrar ρ .

ρ = 1 v       ⟹     ρ = 1 0,396       ⟹         ρ = 2,527   k g m 3

Sabendo o valor de ρ , conseguimos converter a vazão volumétrica V ˙ e em vazão mássica m ˙ e .

m ˙ e = ρ ⋅ V ˙ e       ⟹       m ˙ e = 2,527 ⋅ 0,3       ⟹       m ˙ e = 0,758   k g / s

Todos os passos de cálculo realizados até agora serviram para achar E ˙ e , m a s s a .

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ e e , m a s s a       ⟹     E ˙ e , m a s s a = 0,758 ⋅ 10       ⟹       E ˙ e , m a s s a = 7,58   k W

Enfim podemos calcular Δ E .

Δ E = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a ⋅ Δ t

Δ E = - 100 - 0 + 7,58 - 0 ⋅ 60

Δ E = - 5545,2   k J

Resposta

Δ E = - 5545,2   k J

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