Exercícios Resolvidos de Conservação de Energia do Volume de Controle

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Enunciado

Um tanque rígido está vazando vapor superaquecido d’água por um furo com 0,05   m de diâmetro a uma velocidade média de 10   m / s . O vapor que sai está a 300   ° C e 200   k P a . Cada quilograma desse vapor diminui 3071,79   k J de energia do tanque. O processo de vazamento dura 5   m i n e a taxa de variação da energia do vapor d’água presente no tanque permanece constante durante esse intervalo de tempo. Sabendo que o vapor do tanque ganha 300   k W de calor durante esse processo, calcule a variação de energia do vapor dentro do tanque do início ao fim do vazamento. Use a tabela termodinâmica abaixo.

Passo 1

O exercício pede para a gente determinar a variação da energia vapor superaquecido d’água do tanque rígido Δ E . O primeiro passo para resolver essa questão é entender todas as informações do problema que o enunciado dá pra gente. Por isso, a figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular Δ E .

O Q ˙ da figura é a taxa de calor que o vapor d’água ganha. P é a pressão e T é a temperatura do vapor que sai do tanque rígido. e s , m a s s a é a energia por quilograma que sai do tanque rígido por causa da saída de vapor. ν s é a velocidade média do vapor saindo do tanque. d E d t é a taxa de variação da energia do tanque rígido. Δ t é a duração do processo de vazamento do tanque! D é o diâmetro do furo por onde o vapor sai.

Passo 2

Como o tanque rígido está perdendo massa vapor d’água, ele perde energia por conta dessa saída de massa. Ou seja, o tanque rígido é um volume de controle. Por isso, temos que usar a primeira lei para volumes de controle.

d E d t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

Como a taxa de variação da energia E do tanque rígido d E d t é constante que a derivada de uma reta, podemos calcular d E d t como a derivada de uma reta Δ E Δ t !

d E d t = Δ E Δ t

Por isso:

Δ E Δ t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

Δ E = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a ⋅ Δ t

O primeiro passo para calcular Δ E é entender como encontrar o valor de todas as variáveis da primeira lei da termodinâmica acima! Para conseguir fazer isso, temos que entender primeiro o que cada termo significa!

E ˙ e , m a s s a é a taxa de energia que entra no volume de controle por conta da entrada de massa no volume de controle.   E ˙ s , m a s s a é a taxa de energia que sai do volume de controle por conta da saída de massa do volume de controle. W ˙ é a taxa de trabalho realizado pelo vapor d’água de dentro do tanque.

Esses são todos os dados que a questão nos informa. Agora, vamos determinar como calcular cada termo da equação de Δ E .

Passo 3

Como o volume de tanque rígido não varia, o vapor não realiza nem sofre trabalho. Por isso, a taxa de trabalho W ˙ vale:

W ˙ = 0   k W

A taxa de energia que sai do volume de controle por conta da saída de massa E ˙ s , m a s s a é a vazão mássica de vapor que sai do tanque m ˙ s multiplicada pela energia por quilograma de água que sai do tanque e s , m a s s a .

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ e s , m a s s a

m ˙ s pode ser calculada, multiplicando a vazão volumétrica de vapor pela massa específica ρ da água! Só que a vazão volumétrica é a velocidade média da água saindo do tanque ν s multiplicada pela área do furo pelo qual o vapor sai A .

m ˙ s = ρ ⋅ V ˙ s       ⟹       m ˙ s = ρ ⋅ ν s ⋅ A ⏟ π ⋅ D 2 4       ⟹       m ˙ s = ρ ⋅ ν s ⋅ π ⋅ D 2 4

A massa específica é o inverso do volume específico do vapor d’água.

ρ = 1 v

Esse volume específico v da água pode ser encontrado na tabela de vapor superaquecido. Seu valor está na mesma linha da temperatura de 300   ° C e na mesma coluna do volume específico.

Como não existe vapor entrando no volume de controle, E ˙ e , m a s s a vale:

E ˙ e , m a s s a = 0   k W

Já sabemos como achar todas as variáveis da fórmula de Δ E . Então vamos começar a fazer as contas!

Passo 4

Primeiro devemos encontrar o v da água na tabela.

v = 1,31616   m 3 k g

Com v podemos encontrar ρ .

ρ = 1 v       ⟹     ρ = 1 1,31616       ⟹         ρ = 0,7598   k g m 3

Sabendo o valor de ρ , conseguimos calcular a vazão mássica m ˙ s .

m ˙ s = ρ ⋅ ν s ⋅ π ⋅ D 2 4       ⟹       m ˙ s = 0,7598 ⋅ 10 ⋅ π ⋅ 0,05 2 4       ⟹       m ˙ s = 0,0149   k g / s

Todos os passos de cálculo realizados até agora serviram para achar E ˙ s , m a s s a .

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ e s , m a s s a       ⟹     E ˙ s , m a s s a = 0,0149 ⋅ 3071,79       ⟹       E ˙ s , m a s s a = 45,77   k W

Enfim podemos calcular Δ E .

Δ E = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a ⋅ Δ t

Δ E = 300 - 0 + 0 - 45,77 ⋅ 300

Δ E = 76269   k J

Resposta

Δ E = 76269   k J

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