Exercícios Resolvidos de Impulso e Momento Linear com Massa Variável

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Enunciado

Um caminhão-tanque cheio de água, de massa total M , utilizado para limpar ruas com um jato de água, trafega por uma via horizontal, com coeficiente de atrito cinético μ c . Ao atingir uma velocidade v 0 , o motorista coloca a marcha no ponto morto e liga o jato de água, que é enviada para trás com velocidade v e relativa ao caminhão, com uma vazão de   λ litros por segundo. A velocidade v ( t ) do caminhão depois de um tempo t é:

  1. v t = v 0 - μ c g t + v e ln ⁡ M M - λ t
  2. v t = v e ln ⁡ M M - λ t
  3. v t = v 0 + v e ln ⁡ M M - λ t
  4. v t = v 0 - μ c g t + v e ln ⁡ M - λ t M
  5. v t = v 0 - μ c g t + v e ln ⁡ M M - λ t

Passo 1

A segunda lei de Newton para esse caminhão é dada por

d P d t = - F a t

Como P = M v

d M v d t = - F a t

No entanto, para facilitar o entendimento, chamaremos a massa variável do caminhão de M ' . Assim, diferenciamos essa massa da massa inicial que vale M .

M ' = M t

M = M 0

Logo:

d M ' v d t = - F a t

Nesse caso, a massa do caminhão é variável, então temos que usar a regra do produto na hora de derivar

d M ' v d t = d M ' d t v + M ' d v d t  

O segundo termo é M ' a como a gente tá acostumado. Já o segundo é a força devido ao jato de água! Esse d M ' é a massa de água que sai do caminhão num instante de tempo d t . Como esse jato sai com uma velocidade v e , temos que

d P d t = v e d M ' d t + M ' d v d t

Assim ficamos com

v e d M ' d t + M ' d v d t = - F a t

A força de atrito é dada por μ c N , só que como o caminhão não se movimenta na vertical, a normal será igual ao peso. Assim

F a t =   - μ c M ' g

Finalmente a nossa equação fica

v e d M ' d t + M ' d v d t = - μ C M ' g

Isolando d v / d t

d v d t = - v e M ' d M ' d t - μ C g

Logo:

d v = - v e M ' d M ' - μ C g d t

Integrando os dois lados da equação em relação ao tempo ( d e   0 a   t ), teremos:

∫ v 0 v t d v = - ∫ M M ' v e M ' d M ' - ∫ 0 t μ C g d t

v t - v 0 = - v e ln ⁡ M ' M - μ c g t

Usando a propriedade do log para sumir com o sinal negativo:

v t - v 0 = v e ln ⁡ M M ' - μ c g t

v t = v 0 + v e ln ⁡ M M ' - μ c g t

Sendo

M ' = M - λ t

Finalmente chegamos em

v t = v 0 + v e ln ⁡ M M - λ t - μ c g t

Resposta

L e t r a   A

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