Exercícios Resolvidos de Impulso e Momento Linear com Massa Variável

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Enunciado

Um trem é carregado com areia ao passar sob uma ponte. A areia é despejada nos vagões à taxa de 500kg por segundo. Como a areia é despejada verticalmente de uma altura de vários metros, ao atingir a caçamba do vagão, a velocidade dos grãos de areia é de cerca de 14m/s. A massa do vagão vazio é de 2.000kg, e é preenchido

com 6.000kg de areia ao passar sob a ponte.

a   Desprezando-se as perdas por atrito com os trilhos, determine a força que a locomotiva precisa fazer para puxar o trem a uma velocidade constante de 0,5m/s e a potência necessária para manter o movimento. Note que como o sistema não pode ser considerado como uma partícula não é conveniente a utilização do teorema trabalho-energia cinética.

b   Determine a força suportada pelo trecho de trilhos sob um vagão quando este estiver 50% preenchido de areia. Suponha que o trecho de trilhos em questão suporta somente este vagão neste momento.

c   Se a locomotiva desengatar do primeiro vagão quantos segundos se passarão até que o restante do trem reduza sua velocidade à metade da inicial? Suponha que a massa do restante do trem (incluindo a areia) seja de 10.000kg no instante do desengate.

Passo 1

Essa questão envolve alguns conceitos legais de impulso e variação do momento linear.

O autor nos forneceu os seguinte dados:

v g r ã o = 14   m / s m v a g ã o = 2000 k g m a r e i a = 3000 k g v t r e m = 0,5   m / s

Passo 2

a   Para determinar a força, como a massa é variável, não podemos utilizar a 2ª Lei de Newton! Mas daí hei que surge o impulso! :D

Pelo Teorema do Impulso, temos que:

I = ∆ p

Ou melhor:

F . d t = d p

Passando o dt para o outro lado, teremos:

F = d p d t

Passo 3

Sabemos que p = m v , porém como a massa é variável e a velocidade constante podemos escrever a seguinte relação:

d p = v t r e m . d m

E assim...

F = v t r e m . d m d t

Mas quem seria o d m d t ?

A derivada da massa em relação ao tempo, ou seja, taxa de variação da massa, algo que tenha unidade kg/s ou algo do tipo!

Eureka! Lá no enunciado ele nos diz que os carrinhos são abastecidos com 500kg/s de areia, o que seria justamente essa variação!

Calculando de vez agora, temos que:

F = 0,5.500 = 250 N

Passo 4

Agora pra acabar esse item a) só falta calcular a potência necessária! Lembra da potência? A fórmula dela é

P = Δ E Δ t

Mas tem outra equaçãozinha muito boa també que é

P = F v

Como já temos a força e a velocidade é só substituir e correr pro abraço!

P = 250 × 0,5

P = 125   W

Passo 5

b   Para ver a força que esta parte do trilho suporta, devemos primeiro ver o que esse trilho suporta. Claro, tem o peso do trem+areia.

Como o peso é calculado por P = m g , a gente vai só somar a massa e multiplicar pela gravidade, que nesse caso é 10 m / s ² .

P = 2000 + 6000 2 . 10 = 5000.10 = 50.000 N

Passo 6

Mas e aí, só?

Que nada! Existe também uma força que o trilho faz nos grãos de areia para fazerem eles frearem. Essa força pode ser calculada também por impulso, na forma:

F . d t = d m . v g r ã o

F = d m d t . v g r ã o

F = 500.14 = 7000 N

Passo 7

Somando tudo agora, teremos que:

F t r i l h o = 50.000 N + 7.000 N = 57.000 N

Passo 8

c   Lá no “Passo 3” a gente viu que a variação de massa por tempo a gente chamava

C = d m d t

Passando o d t para o lado esquerdo, teremos:

C . d t = d m

Integrando de ambos os lados, a gente vai encontrar...

∫ C d t = ∫ d m

∆ t = ∆ m C

Ou seja, esse tempo só dependerá da variação da massa de areia .

Passo 9

Mas como achar esse ∆ m ?

Pela conservação do momento linear, sabemos que antes tínhamos um trem com velocidade v t r e m e depois, ao encher de areia sua velocidade diminui para v t r e m 2 . Assim, teremos que:

m 0 . v t r e m = m 0 + ∆ m . v t r e m 2

2 m 0 = m 0 + ∆ m

m 0 = ∆ m

Como m 0 = 10.000 k g ,

∆ m = 10.000 k g

E assim...

∆ t = ∆ m C = 10.000 500

Δ t = 20 s

Resposta

a   F = 250 N

b   F t r i l h o = 57 k N

c   ∆ t = 20 s

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