Exercícios Resolvidos de Impulso e Momento Linear com Massa Variável

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Enunciado

Um foguete de fogos de artifício de massa M está se movendo a uma velocidade de magnitude 53 m / s . O foguete se divide em duas partes: um pedaço de massa m 1 voa com velocidade v → 1 , e o segundo pedaço de massa m 2 voa com velocidade v → 2 , como mostrado na figura. Se m 1 = M / 2 , qual é a magnitude de v → 1 ?

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Segura minha mão e vem comigo!

Primeiro que esse desenho não tá lá essas coisas! Deixa eu fazer um aqui melhor pra ajudar na resolução!

O momento inicial desse sistema é apenas o momento da bolinha vermelha. Essa bolinha tem massa M e vai se dividir nas outras duas bolinhas: azul e verde. O problema diz que a bolinha azul tem massa M / 2 , então a outra bolinha, a verde, também tem que ter a mesma massa, pois M = m 1 + m 2 .

Daí as massas são:

M ( a n t e s   d a   e x p l o s ã o )

m 1 = M 2 = m 2 ( d e p o i s   d a   e x p l o s ã o )

A ideia aqui é usar a conservação de momento linear. Com base nesse desenho ver qual é o momento inicial e o final (que vai ser a soma dos momentos dos dois fragmentos depois da explosão) e igualar.

p i = p f

A gente sabe que o momento linear é uma grandeza vetorial, então a conservação tem que ser em cada direção.

Passo 2

Vamos agora identificar os vetores momento desse sistema.

Olhando de novo o esquema:

O momento inicial é dado pelo momento da bolinha vermelha, que tem velocidade 53 m / s e está na direção horizontal positiva. Então o momento é só em x :

p → i = 53 M x ^

Agora o momento final tem duas componentes, dos fragmentos verde e azul. A componente x do fragmento azul é v 1 c o s 30 e a componente y é v 1 s e n 30 .

Já pro fragmento verde, temos que a componente x é v 2 c o s 60 e a y é - v 2 s e n 60 .

Cada fragmento tem massa M / 2 , e aí o vetor momento final é:

p → f = M 2 v 1 c o s 30 + v 2 c o s 60 x ^ + M 2 v 1 s e n 30 - v 2 s e n 60 y ^

Tudo bem até aqui?

Show!

Passo 3

Agora vamos usar o fato de que o momento é conservado! Então o momento inicial deve ser igual ao momento final:

p → i = p → f

53 M x ^ = M 2 v 1 c o s 30 + v 2 c o s 60 x ^ + M 2 v 1 s e n 30 - v 2 s e n 60 y ^

Calma! Ele é conservado componente a componente! Então vamos tirar daí duas equações com duas incógnitas =)

Saca só:

e m   x : 53 M = M 2 v 1 c o s 30 + M 2 v 2 c o s 60 e m   y :                 0 = M 2 v 1 s e n 30 - M 2 v 2 s e n 60

Da equação pra y temos:

0 = M 2 v 1 s e n 30 - M 2 v 2 s e n 60

0 = v 1 . 1 2 - v 2 . 3 2

v 1 = 3 v 2

E agora da equação pra x podemos achar a velocidade v 2 :

53 M = M 2 v 1 c o s 30 + M 2 v 2 c o s 60

Isso porque v 1 = 3 v 2

Daí temos:

53 M = M 2 v 1 c o s 30 + M 2 v 2 c o s 60

2.53 = 3 v 2 . 3 2 + v 2 . 1 2

106 = 3 v 2 + v 2

106 = 4 v 2

v 2 = 26,5 m / s

v 1 :

v 1 = 3 v 2 = 3 . 26,5 = 45,9 m / s

As velocidades dos fragmentos são:

v 1 = 45,9 m / s

v 2 = 26,5 m / s

O problema pediu só a magnitude de v 1 , mas se perguntar você já sabe!

Ufa! Terminamos!

Bora pra próxima?

Resposta

v 1 = 45,9 m / s

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