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Exercícios Resolvidos de Controlador proporcional-integrativo

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Enunciado

Mostre porque um contralador do tipo PI anula o erro em regime estacionário para um processo de ordem 0 e uma entrada do tipo degrau unitário no distúrbio.

Passo 1

Vamos tentar esboçar um diagrama de blocos genérico para a situação acima:

Nesse caso, C ( s ) é a variável controlada, R ( s ) é a referência (setpoint), D ( s ) o distúrbio.

A função de transferência G 1 ( s ) é a função de transferência do controlador proporcional integral:

G 1 s = K C 1 + 1 τ i s

E a função de trsnferência G 2 ( s ) é um processo qualquer de ordem 0 . Vamos continuar nos referinda a ela como somente G 2 ( s ) .

Passo 2

Sendo assim vamos tentar calcular a expressão para o erro nesse sistema e em seguida calcular o erro em regime permanente utilizando o teorema do valor final.

Pelo diagrama de blocos temos:

E s = R s - C ( s )

C s = E s G 1 s G 2 s + D s G 2 ( s )

Substituindo a segunda na primeira:

E s = R s - E s G 1 s G 2 s - D s G 2 ( s )

E s + E s G 1 s G 2 s = R s - G 2 s D ( s )

E s 1 + G 1 s G 2 s = R s - G 2 s D ( s )

Por fim:

E s = R s 1 + G 1 s G 2 s - G 2 s D ( s ) 1 + G 1 s G 2 s

Passo 3

Agora que já temos a expressão do erro podemos começar a substituir as nossas funções.

Como a variação foi no distúrbio e não no setpoint, temos que:

R s = 0

D s = 1 s

Portanto:

E s = - G 2 s s 1 + G 1 s G 2 s

Como G 1 ( s ) é o nosso PI:

G 1 s = K C 1 + 1 τ i s

Então:

E s =   - G 2 s 1 + G 2 s K C 1 + 1 τ i s

Passo 4

Aplicando o teorema do valor final:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s E ( s )

Logo:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ - s G 2 s 1 + G 2 s K C 1 + 1 τ i s

e ∞ = lim s → 0 ⁡ - G 2 ( s ) 1 + G 2 s K C 1 + 1 τ i s

e ∞ = lim s → 0 ⁡ - G 2 ( s ) 1 + G 2 s K C τ i s + 1 τ i s

Multiplicando em cima e embaixo por τ i s :

e ∞ = lim s → 0 ⁡ τ i s G 2 ( s ) τ i s + G 2 s K C τ i s + 1

Dessa forma, se a função G 2 ( s ) for do tipo 0 , o erro então também será 0 visto que o termo s que tende a zero no denominador não vai poder ser simplificado. Então, aplicando o limite:

e ∞ = 0