Exercícios Resolvidos de Critérios de Falha

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Enunciado

Determine o fator de segurança para o elemento abaixo, sabendo que σ e = 40 M P a . Use o critério de tresca e de Von mises para isso.

Passo 1

Sabemos que tanto o critério de Tresca, quanto o critério de Von mises dependem das tensões principais que agem nesse elemento, sendo em um necessário a tensão cisalhante máxima, e no outro, sendo necessário a tensão principal maior e menor. Relembrando as fórmulas teremos que

Para o critério de Tresca

F S = τ e τ m a x

Em que sabemos que

τ e = σ e 2

E para o critério de Von Mises

F S = σ e σ '

Em que também sabemos que

σ ' = σ 1 - σ 2 2 + σ 2 - σ 3 2 + σ 3 - σ 1 2 2

Sabemos pelo enunciado que

σ e = 40 M P a

τ e = σ e 2 = 40 2 = 20 M P a

Passo 2

Sabemos que como apresenta-se tensão cisalhante em alguns planos, estes não poderão ser considerados planos principais.

O que podemos afirmar é que o plano sem tensões cisalhantes é de fato um plano principal, podemos então afirmar que

σ z = - 15   M P a = σ 1 σ 2 σ 3

Mas como determinar as tensões principais referentes aos outros planos?

Passo 3

Basta usarmos os conceitos aprendidos na aula de transformação de tensões.

Basta analisar o seguinte elemento infinitesimal dado pelos esforços que agem nos planos com cisalhante.

Agora é só determinar as tensões principais presentes nesse elemento infinitesimal.

Passo 4

Sabemos que para determinarmos as tensões principais precisamos usar

σ m e d = σ x + σ y 2

Que nos fornece a média das tensões

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Que nós dá o cisalhante máximo que o nosso elemento foi submetido

A última fórmula é dada por

σ a = σ m e d + R

σ b = σ m e d - R

Que de fato nos fornece o valor das tensões principais

Sabemos que

σ x = - 10

σ y = - 12

Substituindo teremos que

σ m e d = - 10 - 12 2 = - 11

R = - 10 - ( - 12 ) 2 2 + 18 2 = 18,03

σ a = - 11 + 18,03 = 7,03 M p a

σ b = - 11 - 18,03 = - 29,03 M p a

Organizando teremos que

σ 1 = 7,03   M P a

σ 2 = - 15   M P a

σ 3 =   - 29,03   M P a

Mas também precisamos do valor de tensões cisalhantes máxima

τ m a x = σ 1 - σ 3 2 = 7,03 - ( - 29,03 ) 2 = 36,06 2 = 18,03   M P a

Passo 5

Agora vamos determinar o fator de segurança pelo critério de Tresca

Sabemos que

F S = τ e τ m a x

τ e = 20 M P a

τ m a x = 18,03 M P a

Substituindo na nossa fórmula teremos que

F S = 20 18,03 ≅ 1,11

Passo 6

Pelo critério de Von Mises teremos que o fator de segurança será

F S = σ e σ '

Sabemos que

σ e = 40 M P a

σ 1 = 7,03   M P a

σ 2 = - 15   M P a

σ 3 = - 29,03   M P a

E

σ ' = σ 1 - σ 2 2 + σ 2 - σ 3 2 + σ 3 - σ 1 2 2

σ ' = 7,03 - ( - 15 ) 2 + - 15 - ( - 29,03 ) 2 + - 2 9,03 - ( 7,03 ) 2 2 ≅ 31,5

Então nosso fator de segurança será

F S = σ e σ ' = 40 31,5 ≅ 1 , 27

Resposta

Fator de segurança por Tresca

F S ≅ 1,11

Fator de segurança por Von Mises

F S ≅ 1 , 27

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