Exercícios Resolvidos de Critérios de Falha

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Enunciado

No estado plano de tensões de um ponto P , as tensões principais são σ 1 = + 60   M P a e σ 2 = - 15   M P a .

Determine, usando os critérios de Tresca e de von Mises, o coeficiente de segurança F S para esse ponto sabendo que ele é feito de um material que possui um limite de resistência ao escoamento σ E = 180   M P a .

Ao final, esboce o hexágono de Tresca e a elipse de von Mises para esse material e mostre a localização do ponto P nesses gráficos.

Passo 1

O que está acontecendo?

O exercício nos forneceu as tensões principais em um ponto P :

σ 1 = + 60   M P a     &       σ 2 = - 15   M P a

Sendo que, lembra aí, a partir dessas tensões principais máximas e mínimas em um ponto, é possível determinar a tensão cisalhante máxima nesse ponto:

τ m á x = σ m á x - σ m í n 2

Onde σ m á x e σ m í n são as tensões principais máxima e mínima nesse ponto.

Além disso, o exercício ainda nos fornece o limite de resistência ao escoamento σ E = 180   M P a desse material.

Sendo que, lembra aí, a partir desse limite σ E , é possível encontrar o limite de resistência ao escoamento por cisalhamento, τ E :

τ E = σ E 2

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine os coeficientes/fatores de segurança F S para esse ponto P usando os critérios de Tresca e de von Mises.

Para tanto, devemos usar as fórmulas:

F S T r e s c a = τ E τ m á x

&

F S V M = σ E σ '

Lembrando que σ ' é o que chamamos de tensão de von Mises, que é definida para um estado plano de tensões como:

σ ' = σ 1 2 + σ 2 2 - σ 1 σ 2

Ao final, o exercício ainda quer que a gente esboce o hexágono de Tresca e a elipse de von Mises:

...e mostre a localização do ponto P nesse gráfico.

Passo 2

Então vamos lá!

Primeiro, para calcular o fator de segurança de acordo com o critério de Tresca, precisamos calcular:

  • O limite de resistência ao escoamento por cisalhamento, τ E :

τ E = σ E 2 = ( 180   M P a ) 2 = 90   M P a

  • E a tensão de cisalhamento máxima τ m á x no ponto:

τ m á x = σ m á x - σ m í n 2

Para esse ponto, nós vamos ter as tensões principais no plano σ 1 = + 60   M P a , σ 2 = - 15   M P a e uma tensão principal no eixo fora do plano de 0   M P a .

Sendo assim, a tensão principal máxima no ponto vai ser σ m á x = + 60   M P a e a mínima σ m í n = - 15   M P a , de tal forma que:

τ m á x = 60 - ( - 15 ) 2 = 75 2 = 37,5   M P a

Feito isso, podemos agora fazer que:

F S T r e s c a = τ E τ m á x = 90 37,5

O que vai dar:

F S T r e s c a = 2,4

O que significa que, pelo critério de Tresca, o material possui 2,4 vezes a resistência que ele necessita ter.

Passo 3

Agora, para calcular o fator de segurança de acordo com o critério de von Mises, precisamos calcular a tensão de von Mises:

σ ' = σ 1 2 + σ 2 2 - σ 1 σ 2

Substituindo σ 1 = + 60   M P a e σ 2 = - 15   M P a , isso fica assim:

σ ' = 60 2 + - 15 2 - 60 * ( - 15 )

Simplificando os sinais, temos:

σ ' = 60 2 + 15 2 + 60 * 15

E calculando tudo, encontramos que:

σ ' = 68,74   M P a

Feito isso, podemos agora aplicar:

F S V M = σ E σ '

Substituindo σ E = 180   M P a e σ ' = 68,74   M P a , encontramos que:

F S V M = 180 68,74

O que dá:

F S V M = 2,62

O que significa que, pelo critério de von Mises, o material possui 2,62 vezes a resistência que ele precisa ter.

Passo 4

Por fim, para completar o exercício, só falta desenharmos o hexágono de Tresca e a elipse de von Mises, usando para tanto que σ E = 180   M P a :

Aí, marcando as tensões principais σ 1 = + 60   M P a e σ 2 = - 15   M P a do ponto P nesse gráfico, confirmamos como o ponto não falha de acordo com nenhum critério:

E assim terminamos nosso exercício!

Resposta

F S T r e s c a = 2,4

F S V M = 2,62

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