Exercícios Resolvidos de Critérios de Falha

Ver Teoria

Enunciado

O estado plano de tensão indicado ocorre em um componente de máquina feito de um aço com σ E = 325   M P a . Usando os critérios da tensão de cisalhamento máxima (critério de Tresca) e da energia de distorção máxima (critério de Von-Mises), determine se ocorre o escoamento quando:

a   σ 0 = 200   M P a ;

& b = σ 0 = 240   M P a .

Caso o escoamento não ocorra, determine o coeficiente de segurança correspondente.

Passo 1

O que está acontecendo?

O exercício nos forneceu um estado plano de tensões para um ponto em que:

σ x = σ y = - σ 0

&

τ x y = + 100   M P a

Sendo que esse ponto é feito de um aço com um limite de resistência ao escoamento σ E = 325   M P a .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine os coeficientes/fatores de segurança F S desse ponto acordo com os critérios de Tresca e de von Mises para as situações em que:

( a ) σ 0 = 200   M P a ;

& ( b ) σ 0 = 240   M P a .

Sendo que, caso um desses fatores de segurança F S seja menor do que 1, isso vai significar que vai ter ocorrido o escoamento do material.

Então, para resolver o exercício...

Devemos primeiro calcular as tensões principais nesse ponto em função de σ 0 .

Feito isso, vamos poder calcular os fatores de segurança para cada valor de σ 0 de acordo com os critérios de Tresca e de von Mises usando as fórmulas:

F S T r e s c a = τ E τ m á x

&

F S V M = σ E σ '

Sendo que é importante lembrar que:

τ E = σ E 2

&

τ m á x = σ m á x - σ m í n 2

E que, para um estado plano de tensões:

σ ' = σ 1 2 + σ 2 2 - σ 1 σ 2

Passo 2

Então vamos lá!

Antes de tudo, precisamos determinar as tensões principais no nosso ponto em função de σ 0 , então vamos fazer isso.

Lembra aí!

Para determinar as tensões principais no estado plano de tensões, podemos:

1. Calcular a tensão normal média σ m é d no ponto:

σ m é d = σ x + σ y 2

Aí aqui, substituindo que σ x = σ y = - σ 0 , vamos encontrar que:

σ m é d = - σ 0

& 2. Calcular o raio R para esse estado de tensões:

R = σ x - σ y 0 2 + τ x y 2

Aí, aqui, como σ x = σ y , isso vai ficar assim:

R = 0 2 + τ x y 2

O que significa que:

R = τ x y

E como τ x y = + 100   M P a , isso significa que:

R = 100   M P a

Feito isso, podemos agora calcular as nossas tensões principais aplicando que:

σ 1 = σ m é d + R

&

σ 2 = σ m é d - R

Aí, substituindo σ m é d = - σ 0 e R = 100   M P a , vamos encontrar que:

σ 1 = - σ 0 + 100   M P a

&

σ 2 = - σ 0 - 100   M P a

Passo 3

Definidas as tensões principais, podemos agora resolver o item ( a ) .

Nesse item, temos que σ 0 = 200   M P a , de tal forma que:

σ 1 = - 200 + 100 = - 100   M P a

&

σ 2 = - 200 - 100 = - 300   M P a

Agora, além dessas duas tensões principais no plano, ainda vai haver no ponto uma terceira tensão principal no eixo fora do plano de 0   M P a .

Dessa forma, as tensões principais máxima e mínima para esse ponto são:

σ m á x = 0   M P a

&

σ m í n = - 300   M P a

Passo 4

Em seguida, para calcularmos o coeficiente/fator de segurança de Tresca, precisamos calcular os termos:

τ m á x = σ m á x - σ m í n 2 = 0 - ( - 300 ) 2 = 300 2 = 150   M P a

&

τ E = σ E 2

O que, substituindo σ E = 325   M P a vai dar:

τ E = 325 2 = 162,5   M P a

Aí, usando esses valores para calcular o coeficiente/fator de segurança de Tresca, encontramos que:

F S T r e s c a = τ E τ m á x = 162,5 150

O que dá:

F S T r e s c a = 1,083

Passo 5

Para finalizar o item ( a ) , devemos calcular o coeficiente/fator de segurança de von Mises.

Para tanto, devemos antes calcular a tensão de von Mises σ ' :

σ ' = σ 1 2 + σ 2 2 - σ 1 σ 2

Substituindo σ 1 = - 100   M P a e σ 2 = - 300   M P a e simplificando os sinais, obtemos que:

σ ' = 100 2 + 300 2 - 100 * 300

O que vai dar:

σ ' ≅ 264,6   M P a

Aí, usando esse valor e σ E = 325   M P a para calcular o coeficiente/fator de segurança de von Mises, temos:

F S V M = σ E σ ' = 325 264,6

O que dá:

F S V M = 1,228

Passo 6

Terminado o item ( a ) , podemos seguir para o item ( b ) .

Nesse item, temos que σ 0 = 24 0   M P a , de tal forma que:

σ 1 = - 2 4 0 + 100 = - 1 4 0   M P a

&

σ 2 = - 2 4 0 - 100 = - 3 4 0   M P a

Agora (mais uma vez!), além dessas duas tensões principais acima no plano, ainda vai haver no ponto uma terceira tensão principal no eixo fora do plano de 0   M P a .

Dessa forma, as tensões principais máxima e mínima para o ponto são:

σ m á x = 0   M P a

&

σ m í n = - 3 4 0   M P a

Passo 7

Agora, com o objetivo de calcular o coeficiente de segurança de Tresca, precisamos calcular antes a tensão de cisalhamento máxima nesse ponto do item ( b ) :

τ m á x = σ m á x - σ m í n 2 = 0 - ( - 3 4 0 ) 2 = 3 4 0 2 = 1 7 0   M P a

Aí, usando esse valor e o valor τ E = 162,5   M P a já calculado lá no passo 4, podemos calcular o coeficiente de segurança de Tresca:

F S T r e s c a = τ E τ m á x = 162,5 170

Obtendo assim que:

F S T r e s c a = 0 , 956

Sendo que, como esse valor está abaixo de 1 , ele significa que o material do ponto vai escoar/falhar pelo critério de Tresca.

Passo 8

E finalmente, para terminar o exercício, vamos calcular o coeficiente de segurança de von Mises para o item ( b ) , começando pelo cálculo da tensão de von Mises para esse item:

σ ' = σ 1 2 + σ 2 2 - σ 1 σ 2

Substituindo σ 1 = - 1 4 0   M P a e σ 2 = - 3 4 0   M P a e simplificando os sinais, obtemos que:

σ ' = 1 4 0 2 + 3 4 0 2 - 1 4 0 * 3 4 0

O que dá:

σ ' ≅ 296,0   M P a

Aí, usando esse valor e σ E = 325   M P a para calcular o coeficiente/fator de segurança de von Mises, temos:

F S V M = σ E σ ' = 325 2 96,0

F S V M = 1 , 098

E pronto!

Terminamos o exercício.

Resposta

( a ) Pelos critérios de Tresca e Von-Mises, temos coeficientes de segurança F S T r e s c a = 1,083 e F S V M = 1,228 , respectivamente.

( b ) Pelo critério de Tresca, ocorre o escoamento do material. Já pelo critério de Von-Mises, temos um coeficiente de segurança F S V M = 1,098 .

Exercícios de Livros Relacionados

Uma liga de alumínio 6061- T6 deve ser usada para fabricar um eixo de acionamento maciço que transmite 33 kW a 2.400 rev/min. Usando um fator de segurança de 2 para o escoamento, determine o menor diâ
A viga de alumínio tem seção transversal retangular mostrada na figura. Se for submetida a um momento fletor M=7,5k N . m , determine o aumento na dimensão de 50 mm na parte superior da viga e a reduç
Um elemento diferencial é submetido à deformação no plano que tem as seguintes componentes: ∈ x = 950 × 10 - 6 , ∈ y = 420 × 10 - 6 ,γ x y = - 325 × 10 - 6 . Use as equações de transformação da deform
As componentes do estado plano de tensão em um ponto crítico de uma carcaça de aço estrutural A - 36 são mostradas na figura. Determine se ocorreu falha (escoamento) com base na teoria da energia de d
Um material está sujeito ao estado plano de tensão. Expresse a teoria da falha da tensão de cisalhamento máxima em termos de σ x , σ y , τ x y . Considere que as tensões principais têm sinais algébric