Exercícios Resolvidos de Curvas Características

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Enunciado

(Adaptada) Uma bomba Peerless horizontal de carcaça bipartida do tipo 14 A E 12 , com diâmetro de rotor 280   m m e operando com 1750   r p m leva água de um reservatório a outro por tubos de ferro fundido com 61   m de 100   m m e de 61   m de 75   m m montados em série. A diferença de altura entre os reservatórios é de 3   m . Esboce um gráfico da curva de operação do sistema.

Dados: A viscosidade cinemática do fluido é dada por ν = 1,14 x 10 - 6 m 2 . s - 1 e a rugosidade do ferro fundido é ϵ = 2,6 x 10 - 4   m .

Passo 1

Vamos primeiro organizar nossos dados! O sistema possui dois trechos de tubulação de ferro fundido com 61   m de comprimento, tendo um deles 100   m m ( D 1 ) de diâmetro e o segundo, 75   m m ( D 2 ). Além disso, a diferença de altura entre os reservatórios é de Δ z = 3 m .

A curva do sistema nada mais é do que um gráfico de carga do sistema ( H s i s t e m a ) por vazão volumétrica ( Q ). Então, nosso trabalho aqui é calcular H s i s t e m a com um conjunto de valores para Q . Então, bora lá! ^^

Seja o sistema ilustrado abaixo (não muito artístico, mas com carinho ahaha):

Aplicando o balanço de energia entre os dois reservatórios, temos que:

W s + p 1 ρ + α 1 . V - 1 2 2 + g . z 1 = p 2 ρ + α 2 . V - 2 2 2 + g . z 2 + h L T

H b o m b a + p 1 ρ . g + α 1 . V - 1 2 2 . g + z 1 = p 2 ρ . g + α 2 . V - 2 2 2 . g + z 2 + h L T g

H b o m b a = h L T g + p 2 - p 1 ρ . g + α 2 . V - 2 2 - α 1 . V - 1 2 2 . g + ( z 2 - z 1 )

Assumindo que os dois reservatórios são abertos, temos que: p 1 = p 2 = 1 a t m . Além disso, a velocidade com que a altura do líquido no reservatório varia é muito pequena, então desprezamos as velocidades V - 1 e V - 2 .

Com essas considerações:

H b o m b a = h L T g + Δ z

Já conhecemos Δ z e g é a aceleração da gravidade. Precisamos agora encontrar a perda de carga do sistema h L T .

Passo 2

Vamos desprezar os possíveis acidentes do sistema por não terem sido mencionados e calcular somente as perdas de carga das duas tubulações em série.

A gente já viu que a perda de carga em uma tubulação pode ser calculada por:

h t u b o = f . L D . V 2 2

Em que f é o fator de atrito obtido pelo diagrama de Moody ou via equação de Colebrook ou ainda pela equação (explícita) de Milliard.

Dessa maneira, ficamos com:

H b o m b a = Δ z + h L T g

H b o m b a = Δ z + f . L 1 D 1 . V 1 2 2 . g + f . L 2 D 2 . V 2 2 2 . g

Podemos expressar a velocidade por meio da vazão volumétrica da seguinte forma:

V 1 = 4 . Q π . D 1 2                 ⇒               V 1 = 4 . Q π . 0,100   m 2                 ⇒               V 1 = 127,3 . Q

Assim:

R e 1 = V 1 . D 1 ν             ��   ⇒               R e 1 = V 1 . 0,100   m 1,14 x 10 - 6   m 2 . s - 1                 ⇒               R e 1 = 8,77 x 10 4 . V 1

A rugosidade relativa é dada por:

ϵ D 1 = ( 2,6 x 10 - 4   m ) ( 0,100   m ) = 2,6 x 10 - 3

Além disso, para o Segundo tubo:

V 2 = 4 . Q π . D 2 2           ⇒           V 2 = 4 . Q π . 0,075   m 2                 ⇒               V 2 = 226,3 . Q

Assim:

R e 2 = ρ . V 2 . D 2 μ                 ⇒               R e 2 = V 2 . 0,075   m 1,14 x 10 - 6   m 2 . s - 1                 ⇒               R e 2 = 6,58 x 10 4 . V 2

A rugosidade relativa é dada por:

ϵ D 2 = ( 2,6 x 10 - 4   m ) ( 0,075   m ) = 3,5 x 10 - 3

Logo:

H a = 3 m + f 1 . 61   m 0,100   m . V 1 2 2 . 9,81   m . s - 2 + f 2 . 61   m 0,075   m . V 2 2 2 . 9,81   m . s - 2

H a = 3 m + 31 . f 1 . V 1 2 + 41,5 . f 2 . V 2 2

Substituindo as velocidades em função da vazão, teremos:

H a = 3 m + 5,02 x 10 5 . f 1 . Q 2 + 2,13 x 10 6 . f 2 . Q 2

H a = 3 m + ( 5,02 x 10 5 . f 1 + 2,13 x 10 6 . f 2 ) . Q 2

Agora, temos uma expressão geral para a carga do sistema. Basta escolhermos alguns valores de vazão e calcularmos os fatores de atrito correspondentes (pelo diagrama de Moody, ou pela equação de Colebrook ou pela equação de Milliard) e qual a carga H b o m b a !

Fazendo isso para alguns pontos, teremos um comportamento gráfico parecido com esse:

Resposta

H a = 3 m + ( 5,02 x 10 5 . f 1 + 2,13 x 10 6 . f 2 ) . Q 2

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