Exercícios Resolvidos de Curvas Características

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Enunciado

Um engenheiro pretende utilizar uma bomba cuja curva característica segue a parábola H = H 0 - a Q 2 , onde H 0 = 100   m e a =   10 5 s 2 / m 5 . Esse engenheiro pretende transportar um fluido entre dois tanques separados por uma altura de 10 m.

Desconsiderando os efeitos das perdas de carga maiores e menores na tubulação que conecta os tanques, e sabendo que a tubulação tem diâmetro constante, a vazão volumétrica, em m³/s, e a altura de carga no ponto de operação para realizar o transporte do fluido entre os dois tanques, em m, são, respectivamente,

(A) 3 x 10-3 e 10

(B) 3 x 10-1 e 100

(C) 9 x 10-2 e 10

(D) 9 x 10-3 e 90

(E) 3 x 10-2 e 10

Passo 1

Esse exercício pede a vazão volumétrica Q e a carga da bomba no ponto de operação. Nesse ponto, sabemos que a carga da bomba H B e a carga do sistema H S   se igualam

H s i s t e m a = H b o m b a

O enunciado já fornece a expressão da carga da bomba: H = H 0 - a Q 2 . Sabendo que H 0 = 100   m e a =   10 5 s 2 / m 5 , então, podemos escrever

H b o m b a = 100 - 10 5 Q 2

Beleza! Agora precisamos achar o H s i s t e m a . Como vimos na teoria, usando a equação da energia, ele pode ser expressado assim:

H s i s t e m a =   p 2 ρ g + V - 2 2 2 g + z 2 -   p 1 ρ g + V - 1 2 2 g + z 1 + h p

Para reorganizar essa expressão aí precisamos conhecer nosso volume de controle (VC). O VC vai de um tanque até o outro, passando por toda a tubulação e pela bomba.

Então, as superfícies de controle 1 e 2 serão as superfícies dos tanques. Assim, p 1 = p 2 = p a t m , já que as superfícies estão expostas à pressão atmosférica. Além disso, em superfícies, a área é grande e assim V 1 = V 2 ≅ 0   m / s .

Outras informações que o enunciado traz é que os “tanques separados por uma altura de 10 m”. Em outras palavras, digo, em equação:

z 2 - z 1 = 10   m

Quando o enunciado diz para desconsiderar perdas de cargas podemos escrever que

h p = 0   m

E agora sim, já temos todas as variáveis que precisamos para calcular H s i s t e m a

H s i s t e m a =   p 2 ρ g + V - 2 2 2 g + z 2 -   p 1 ρ g + V - 1 2 2 g + z 1 + h p

Substituindo

H s i s t e m a =   p a t m ρ g + 0 2 g + z 2 -   p a t m ρ g + 0 2 g + z 1 + 0

H s i s t e m a =   ( z 2 - z 1 )

H s i s t e m a =   10   m

Legal! Deu até um número. Estamos prontos para trabalhar no ponto de operação.

Passo 2

No ponto de operação sabemos que

H s i s t e m a = H b o m b a

10 = 100 - 10 5 Q 2

9 0 = 10 5 Q 2

90 = 10 5 Q 2   ⇒ Q 2 = 9 × 10 - 4

Q   = 3 × 10 - 2 m 3 / s

Analisando as alternativas, com esse resultado já podemos dizer que a resposta é a letra E.

Vamos conferir se a carga da bomba está correta? Substituindo Q   = 3 × 10 - 2 m 3 / s na curva característica da bomba

H b o m b a = 100 - 10 5 Q 2

H b o m b a = 100 - 10 5 3 × 10 - 2 2 = 100 - 90

H b o m b a = 10   m

Logo, a carga da bomba é 10 m na vazão de 3 × 10 - 2 m 3 / s , o que confirma que a letra E está correta.

Resposta

Alternativa (E) 3 x 10-2 e 10

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