Exercícios Resolvidos de Diagrama de Bode

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Enunciado

O sistema de suspensão mostrado abaixo tem o nível da superfície da estrada como entrada e a posição absoluta como saída.

A função de transferência do sistema é:

G s = b k 2 s + k 1 k 2 m 1 m 2 s 4 + b m 1 + m 2 s 3 + k 1 m 1 + m 2 s 2 + k 2 m 1 s 2 + k 2 b s + k 1 k 2

Dependendo do uso, a massa m 1 do carro pode dobrar. Gere em um mesmo gráfico o diagrama de Bode para 500 ≤ m 1 ≤ 1000   k g . Assuma que m 2 = 100   k g , b = 1000   N s / m , k 1 = 2000   N / m e k 2 = 10 4   N / m .

Passo 1

Neste exercício, plotaremos o diagrama de Bode de G ( s ) para valores diferentes de m 1 , sendo que os diagramas deverão estar em um mesmo gráfico, para facilitar a comparação. Para fazermos isso, a função t f para criar G s e o comando b o d e para plotar o diagrama ficarão dentro de um laço f o r , que atualizará G ( s ) e o diagrama para cada valor de m 1 .

Passo 2

O primeiro passo é entrar com os dados de massa, rigidez e amortecimento do enunciado. Em um script novo, entre com os valores de m 2 , b , k 1 e k 2 :

Abaixo dos dados que você acabou de digitar, inicie um laço f o r , com variável de controle m 1 , representando a massa do carro. Essa variável de controle deve ir de 500 a 1000 , pois o enunciado pede para vermos o diagrama de Bode de G ( s ) para 500 ≤ m 1 ≤ 1000   k g :

O passo da faixa de valores de m 1 você pode escolher o que quiser. Eu escolhi 250 , de forma que m 1 em G ( s ) assumirá três valores distintos: 500   k g , 750   k g e 1000   k g . Isto fará que o meu gráfico com os diagramas de Bode no final tenha três curvas, uma para cada valor de m 1 .

Passo 3

Vamos entrar com G ( s ) dentro do laço f o r , escrevendo dentro dele o comando t f , que tem como sintaxe:

s i s t e m a = t f ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

A função t f tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por n u m e r a d o r ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por d e n o m i n a d o r ). t f retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em s i s t e m a .

Vamos criar dois vetores, dentro do laço f o r , contendo os coeficientes dos polinômios do numerador e do denominador de G ( s ) . O polinômio do numerador é b k 2 s + k 1 k 2 e seus coeficientes serão armazenados em um vetor chamado n u m . Já o polinômio do denominador é:

m 1 m 2 s 4 + b m 1 + m 2 s 3 + k 1 m 1 + m 2 s 2 + k 2 m 1 s 2 + k 2 b s + k 1 k 2

Seus coeficientes serão armazenados em um vetor chamado d e n . Desta forma, o laço f o r tem essa cara por enquanto:

Logo abaixo dos vetores, já podemos incluir o comando G = t f ( n u m , d e n ) , para criar a variável G , que contém F ( s ) .

Com o laço de repetição f o r , os vetores n u m e d e n serão atualizados a cada iteração, com um valor de m 1 diferente, gerando, portanto, uma função de transferência G diferente.

Passo 4

Para gerar o diagrama de Bode para cada função de transferência G diferente, utilize dentro do laço f o r o comando b o d e , que tem a sintaxe:

b o d e ( f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a )

Ele tem como entrada uma função de transferência (representada pela variável f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a ), criada usando o comando t f , e ele gera um gráfico com o diagrama de Bode para f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a .

Logo, acrescente o comando b o d e ( G ) dentro do laço f o r :

Abaixo de b o d e ( G ) , inclua o comando h o l d   o n . Este comando serve para que o gráfico com o diagrama de Bode seja atualizado a cada iteração, mas sem que as curvas da iteração anterior desapareçam.

Pra finalizar, coloque logo abaixo do laço f o r o comando:

Ele fará com que o gráfico com os diagramas de Bode tenham uma legenda, indicando qual curva representa o resultado para determinada massa. As legendas dentro de l e g e n d devem estar na ordem com que os diagramas foram criados.

Resposta

As curvas azuis são o diagrama de Bode para m 1 = 500   k g .

As curvas vermelhas são o diagrama de Bode para m 1 = 750   k g .

As curvas amarelas são o diagrama de Bode para m 1 = 1000   k g .