Exercícios Resolvidos de Diagrama de Bode

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Enunciado

Usando o MATLAB, obtenha a margem de ganho, margem de fase, a frequência de 0   d B e a frequência de - 180 ° para um sistema com realimentação unitária e função de transferência em malha aberta:

G s = 8000 s 3 + 61 s 2 + 1030 s   +   4200

Passo 1

Para G ( s ) , o exercício pede para encontrarmos:

  1. Margem de ganho;
  2. Margem de fase;
  3. Frequência de 0   d B ;
  4. Frequência de - 180 ° .

Obtemos tudo isso usando o comando m a r g i n do MATLAB.

No nosso programa, primeiramente vamos entrar com G s no MATLAB usando a função t f . Em seguida, usaremos a função m a r g i n , que plota o diagrama de Bode já informando as margens de fase e de ganho e as frequências de 0   d B e - 180 ° .

Passo 2

Vamos entrar com G ( s ) no MATLAB. Para isto, usaremos a função t f , que cria funções de transferência e tem a seguinte sintaxe:

s i s t e m a = t f ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

A função t f tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por n u m e r a d o r ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por d e n o m i n a d o r ). t f retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em s i s t e m a .

Para G ( s ) , o polinômio do numerador é 8000 . Já o polinômio do denominador é s 3 + 61 s 2 + 1030 s   +   4200 .

Em um novo script, vamos criar duas variáveis representando os coeficientes dos polinômios, para servirem de entrada para t f . Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a 800 0 ∙ s 0 = 800 0 ∙ 1 = 800 0 , a variável representando seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de n u m e ela é igual a 800 0 .

A outra variável é um vetor chamado d e n , contendo os coeficientes de s 3 + 61 s 2 + 1030 s   +   4200 , indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

Logo abaixo, já digitamos o comando G = t f ( n u m , d e n ) , para criar G ( s ) e armazená-la na variável F . Se quiser, você pode rodar o programa que você tem até agora para conferir se você entrou certo com G ( s ) . Para isto, imprima G no Command Window:

Se G estiver igualzinho a G ( s ) , pode prosseguir :)

Passo 3

Após entrar com G ( s ) , usamos o comando m a r g i n , que plota o diagrama de Bode de G ( s ) já com as margens de ganho e de fase destacadas. A função m a r g i n tem a seguinte sintaxe:

m a r g i n ( f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a )

Ela tem como entrada uma função de transferência criada usando o comando t f (representada por f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a ) e ela gera, ao executarmos o programa, um gráfico com o diagrama de Bode de f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a , informando já no título do gráfico as margens de ganho e de fase e a frequência na qual elas foram calculadas.

Para chegarmos no resultado do exercício, adicione ao seu código o comando:

Com este comando, geraremos o diagrama de Bode de G e obteremos as margens de fase e de ganho. Rodando o programa para ver o resultado, temos:

No título do gráfico, a margem de ganho é indicada por G m e margem de fase, por P m . Temos que a margem de ganho é 17,3   d B e a margem de fase, 89,8 ° .

Com isso, já temos as margens de ganho e de fase pedidas pelo enunciado. Mas e as frequências de 0   d B e - 180 ° ?

Passo 4

Para encontrarmos as frequências, vamos relembrar como se calculam as margens de ganho e de fase usando o diagrama de Bode.

Em um diagrama de Bode, a margem de ganho é calculada encontrando a frequência onde o ângulo de fase é - 180 ° e fazendo a diferença entre 0   d B e a razão de amplitude (no caso do gráfico gerado pelo MATLAB, M a g n i t u d e ) nessa mesma frequência. Em outras palavras, isso quer dizer que a frequência onde a margem de ganho é calculada é a frequência de - 180 ° .

Repare que o título do gráfico diz: G m = 17.3   d B   ( a t   32.1   r a d / s ) , informando que a margem de ganho de 17,3   d B foi calculada em 32 , 1   r a d / s . Isso quer dizer a frequência de - 180 ° é 32 , 1   r a d / s .

Outra alternativa para encontrar a frequência de - 180 ° é clicar no gráfico de baixo, o de P h a s e   ( d e g ) , e arrastar o quadradinho preto até encontrar o dado P h a s e   ( d e g ) igual a - 180 , como na imagem abaixo:

Veja que a frequência desse ponto é igual a 32   r a d / s , praticamente igual ao valor dado pelo título do gráfico. Repare também que o ponto onde P h a s e   ( d e g ) é igual a - 180 está exatamente sobre a linha vertical pontilhada que indica a posição da margem de ganho no diagrama de Bode. Isso porque a margem de ganho foi determinada como eu disse acima.

Passo 5

Para encontrar a frequência de 0   d B , vamos relembrar como se calcula a margem de fase usando o diagrama de Bode. Ela é calculada encontrando a frequência onde a razão de amplitude (no diagrama gerado pelo MATLAB, M a g n i t u d e ) é 0   d B e fazendo a diferença entre o ângulo de fase nessa frequência e - 180 ° .

Em outras palavras, isso quer dizer que a frequência onde a margem de fase é calculada é a frequência de 0   d B .

Repare que o título do gráfico diz: P m = 89.8   d e g   ( a t   8.33   r a d / s ) , informando que a margem de fase de 89 , 8 ° foi calculada em 8 , 33     r a d / s . Isso quer dizer a frequência de 0   d B é 8,33     r a d / s .

Outra alternativa para encontrar a frequência de 0   d B é clicar no gráfico de cima, o de M a g n i t u d e   ( d B ) , e arrastar o quadradinho preto até encontrar o dado M a g n i t u d e   ( d B ) o mais próximo possível de 0 , como na imagem abaixo (é difícil achar exatamente o 0 ):

Veja que a frequência desse ponto é igual a 8,31   r a d / s , dando uma razão de amplitude de - 0,00117   d B , bem próxima de 0   d B . Repare que a frequência é bem próxima da dada no título do gráfico para a margem de fase.

Como é difícil acertar o ponto de 0   d B , recomendo pegar os valores dados pelo título do gráfico.

Resposta

  1. Margem de ganho: 17,3   d B
  2. Margem de fase: 89,8 °
  3. Frequência de 0   d B : 8,33   r a d / s
  4. Frequência de - 180 ° : 32,1   r a d / s