Exercícios Resolvidos de Diagrama de Bode

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Enunciado

Usando o MATLAB, determine se o seguinte processo pode ser tornado instável aumentando-se o ganho dele. Utilize argumentos baseados em resposta em frequência e critério de Bode.

G s = 4 6 s 3 + 11 s 2 + 6 s   +   1

Passo 1

Quando o exercício pede para determinarmos se G ( s ) pode se tornar instável aumentando o ganho, na real ele está nos pedindo para ver se G ( s ) já é estável, com outras palavras. Se ele for estável na forma que foi apresentado no enunciado, avaliando-o pelo critério de Bode, significa que tem espaço para aumentar o ganho até que o processo se torne instável.

Logo, o exercício pede para vermos se G ( s ) é estável ou não, nos baseando em resposta em frequência e critério de Bode. Para isto, plotaremos o diagrama de Bode de G ( s ) usando o MATLAB.

No nosso programa, devemos primeiro entrar com G ( s ) no MATLAB usando a função t f . Em seguida, usaremos a função b o d e para plotar o diagrama de Bode. Avaliaremos a estabilidade de G ( s ) usando o gráfico gerado por nosso programa, a partir do critério de Bode.

Passo 2

O primeiro passo para resolver o exercício é entrar com G ( s ) no MATLAB. Para isto, usaremos a função t f , que cria funções de transferência e tem a seguinte sintaxe:

s i s t e m a = t f ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

A função t f tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por n u m e r a d o r ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por d e n o m i n a d o r ). t f retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em s i s t e m a .

Para G ( s ) , o polinômio do numerador é 4 . Já o polinômio do denominador é 6 s 3 + 11 s 2 + 6 s   +   1 .

Em um novo script, vamos criar duas variáveis representando os coeficientes dos polinômios, para servirem de entrada para t f . Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a 4 ∙ s 0 = 4 ∙ 1 = 4 , a variável representando seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de n u m e ela é igual a 4 .

A outra variável é um vetor chamado d e n , contendo os coeficientes de 6 s 3 + 11 s 2 + 6 s   +   1 , indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

Em seguida, adicione o comando abaixo para criar G ( s ) :

A função de transferência é armazenada na variável G . Você pode ver como G   ficou ao rodar o programa e pedir ao MATLAB para imprimir G no Command Window:

Passo 3

Tendo entrado com G ( s ) no MATLAB, podemos plotar seu diagrama de Bode, usando o comando b o d e , que tem a sintaxe:

b o d e ( f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a )

Ele tem como entrada uma função de transferência (representada pela variável f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a ), criada usando o comando t f do MATLAB, e ele gera um gráfico com o diagrama de Bode para f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a .

No script criado no passo 2, adicione as seguintes linhas de código:

Além do comando b o d e ( G ) para plotar o diagrama de Bode de G , incluímos o comando g r i d   o n , para que o diagrama tenha linhas de grade. As linhas de grade vão ajudar a avaliar a estabilidade de G pelo critério de Bode.

Vamos rodar o programa para vermos o diagrama de Bode de G ( s ) :

Passo 4

Com o diagrama de Bode em mãos, podemos usar o critério de Bode para ver se G é estável ou não. O critério de Bode diz que um sistema é estável se a razão de amplitude for menor que 0   d B na frequência em que o ângulo de fase atinge - 180 ° .

Lembrando que no diagrama de Bode gerado pelo MATLAB, a razão de amplitude é chamada de M a g n i t u d e .

O primeiro passo, então, é achar a frequência em que o ângulo de fase é - 180 ° . Para isto, clique sobre a curva do gráfico de baixo, cujo eixo vertical é P h a s e   ( d e g ) . Aparecerá um quadradinho preto que informa a frequência e o ângulo de fase do ponto sobre o qual você clicou.

Arraste o quadradinho até que P h a s e   ( d e g ) seja igual a - 180 . Use as linhas de grade para te orientar. Ao fazer isso, você terá algo parecido com a imagem abaixo:

Vemos que a frequência em que o ângulo de fase é - 180 ° é de 1   r a d / s .

Passo 5

Sabendo que o ângulo de fase atinge - 180 ° em uma frequência de 1   r a d / s , vamos procurar no gráfico de cima do diagrama de Bode gerado pelo MATLAB, isto é, no gráfico cujo eixo vertical é M a g n i t u d e   ( d B ) , qual é a razão de amplitude em 1   r a d / s .

Para isto, clique sobre a curva do gráfico M a g n i t u d e   ( d B ) , para aparecer aquele quadradinho preto com as informações sobre o ponto onde você clicou. Dessa vez, ele informará a frequência e a razão de amplitude do ponto.

Arraste o quadradinho preto até atingir uma frequência de 1   r a d / s , usando as linhas de grade para se guiar. Ao fazer isso, seu gráfico de M a g n i t u d e   ( d B ) ficará com essa cara:

Vemos que a razão de amplitude em 1   r a d / s é - 7,99   d B , menor que 0   d B . Logo, G ( s ) é estável.

Em outras palavras, podemos aumentar o ganho de G ( s ) até que o sistema se torne instável, pois podemos aumentar o ganho até que a razão de amplitude se torne maior que 0   d B , partindo de G ( s ) no estado atual, onde a razão de amplitude é de - 7,99   d B na frequência em que o ângulo de fase é - 180 ° , atendendo ao critério de Bode.

Em outras palavras, temos uma “folga” de - 7,99   d B .

Resposta

É possível que o processo G ( s ) se torne instável aumentando-se o ganho, pois podemos aumentar o ganho até que a razão de amplitude se torne maior que 0   d B na frequência em que o ângulo de fase atinge - 180 ° , visto que G ( s ) apresenta razão de amplitude negativa nessa frequência.