Exercícios Resolvidos de Distância entre Planos

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Enunciado

Considere os pontos

A = 1,0 , 1 ,   B = 1,2 , 3 ,   C = 2,1 , 1 ,   D = ( 1,3 , 2 )

e os vetores:

v = A B → ,   w = A C →

(b) Determine a equação cartesiana do plano π que contém os pontos A, B, C.

(c) Determine dois planos diferentes, π 1   e π 2 tais que suas distâncias ao plano π sejam 1.

Passo 1

(b) A equação cartesiana do plano é da forma:

a x + b y + c z + d = 0

Onde a, b e c são as coordenadas de um vetor normal ao plano e o coeficiente d achamos substituindo um ponto que pertence ao plano nessa equação.

Queremos um plano que contenha os pontos A, B e C.

Vamos usar os vetores do plano:

A B → = B - A = 1,2 , 3 - 1,0 , 1 = 0,2 , 2

A C → = C - A = 2,1 , 1 - 1,0 , 1 = 1,1 , 0

Se fizermos o produto vetorial entre esses dois caras, vamos obter um vetor que é ortogonal a eles, e, portanto, ortogonal (normal) ao plano!

Vamos achar esse vetor então:

Podemos dividir o vetor por 2 e ainda vamos ter um vetor normal de coordenadas:

( - 1,1 , - 1 )

Então substituindo ( a , b , c ) por - 1,1 , - 1 , a equação do plano fica:

- x + y - z + d = 0

Agora substituímos as coordenadas do ponto A = 1,0 , 1 nessa equação e achamos d:

- 1 + 0 - 1 + d = 0 ∴ d = 2

Então a equação cartesiana do plano que buscamos é:

- x + y - z + 2 = 0

Passo 2

(c) Bom, qualquer plano com equação da forma:

- x + y - z + d = 0

É paralelo ao plano π que achamos antes, porque esse coeficiente d faz com que o plano π seja transladado.

Mas sabemos que a distância entre os planos tem que ser 1.

Lembra como faz para achar a distância entre dois planos??

A gente escolhe um ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) que pertence a um dos planos e depois usamos a formulazinha:

| a x o + b y o + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2

Pra achar a distância desse ponto ao outro plano!

Então vamos escolher o ponto A = 1,0 , 1 que pertence ao plano π (poderia ser qualquer outro) e aplicar a fórmula de distância com relação ao plano de equação   - x + y - z + d = 0 .

Fazendo isso:

d i s t â n c i a = | - 1 1 + 1 0 - 1 ( 1 ) + d | 1 2 + ( - 1 ) 2 + 1 2 = | d - 2 | 3

Mas queremos que a distância seja igual a 1, então:

d - 2 3 = 1

d - 2 = 3

Temos então duas possibilidades:

d - 2   > 0 ∴ d - 2 = 3 ⇒ d = 2 + 3

d - 2 < 0 ∴ d - 2 = - 3 ⇒ d = 2 - 3

Aí já temos as equações dos dois planos pedidos no enunciado:

π 1 :   - x + y - z + 2 + 3 = 0

π 2 :   - x + y - z + 2 - 3 = 0

Resposta

(b) π :   - x + y - z + 2 = 0

(c) π 1 :   - x + y - z + 2 + 3 = 0 e π 2 :   - x + y - z + 2 - 3 = 0

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