Distância entre Planos

Teoria Completa

Última teoria do capítulo!!! Vamos dar aquele sprint agora e fechar esse capítulo!!

Para planos também temos dois casos:

Se os planos forem transversais, então a distância entre eles é ZERO.

Já se eles forem paralelos, faremos da seguinte forma:

  • Escolheremos um ponto pertencente à um dos planos
  • Escolhido o ponto, calcularemos a distância entre esse ponto escolhido até o outro plano por meio da fórmula de distância entre plano e ponto.

Bem parecido com distância entre reta e plano, né?

Vamos só ver um exemplinho para acabar!

Qual é a distância entre o plano π 1 : x + 2 y - 2 z + 1 = 0 e o plano π 2 : 2 x + 4 y - 4 z + 4 = 0 ??

Primeiro vamos escolher um ponto qualquer de algum dos planos. Eu escolhi o ponto ( 1 ,   1 ,   2 ) de π 1 porque eu achei ele bonito!

Agora é substituir na fórmula de distância entre ponto e plano!

Lembrando que a fórmula é d P ,   π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Substituindo os valores, temos

d P ,   π = 2 × 1 + 4 × 1 + ( - 4 ) × 2 + 4 2 2 + 4 2 + ( - 4 ) 2

Logo, d P ,   π = 2 3 6   = 2 6 = 1 3   u . c

E essa é exatamente a distância entre os nossos planos!!!! UHULLLL

Nossa teoria fica por aqui! Agora é só dar aquele exercitada para ficar crack!

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Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 203-11a.

Calcular a distância entre os planos paralelos:

π 1 = 2 x + 2 y + 2 z - 5 = 0 e π 2 = x + y + z - 3 = 0

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Passo 1

Belezinha, vamos começar!

Para gente descobrir essa distância precisamos de um ponto de um dos planos e dos coeficientes ( a ,   b ,   c ,   d ) do outro plano.

Vou escolher o ponto P = ( 1 , 3 2 , 0 )   de π 1 . Assim, nos resta   n 2 → = ( 1 ,   1 ,   1 ) e d 2 = - 3 .

Agora é só jogar tudo na fórmula de distância de ponto a plano!

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

d P , π 2 = 1 × 1 + 1 × 3 2 + 1 × 0 + ( - 3 ) 1 2 + 1 2 + 1 2 = 1 2 3 = 3 6   u . c

Resposta

1 2 3 = 3 6   u . c

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 203-11b.

Calcular a distância entre os planos paralelos:

π 1 = x - 2 z + 1 = 0 e π 2 = 3 x - 6 z - 8 = 0

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Passo 1

Esse exercício é idêntico ao anterior, olha só:

Vamos escolher o ponto P = ( 1 , 0 , 1 )   de π 1 . Assim, nos resta   n 2 → = ( 3 ,   0 ,   - 6 ) e d 2 = - 8 .

Agora é só jogar tudo na fórmula de distância de ponto a plano e partir para o abraço!

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

d P , π 2 = 3 × 1 + 0 × 0 + ( - 6 ) × 1 + ( - 8 ) 3 2 + 0 2 + ( - 6 ) 2 = 11 45 = 11 3 5   u . c

Resposta

1 1 3 5   u . c

Exercício Resolvido #3

Lista 2- Unicamp –Ex 13
  1. Encontre a distância do plano π : 2 x + 2 y - z = 6 e o ponto P = ( 2 ,   2 ,   - 4 )
  2. Encontre a distância perpendicular entre os planos (paralelos):   4 x - 8 y - z = 9 e 2 x - 4 y - z 2 = 5
  3. Verifique que a reta x - 1 = z - 2 e y = 2 é paralela ao plano x + 2 y - z = 3 e encontre a distância perpendicular entre eles.
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Passo 1

Esse exercício mescla o cálculo de várias distâncias. O item a nós já fizemos na questão anterior, mas nunca é demais treinar ainda mais quando essa é uma questão que envolve a decoreba de uma fórmula!! ;). O item b é a distância entre dois planos. E para terminar, o item c a distância entre reta e plano.

Passo 2

  1. Devemos encontrar a distância entre o plano π : 2 x + 2 y - z = 6 e o ponto P = ( 2 ,   2 ,   - 4 ) . Sabemos que para calcular essa distância temos a fórmula:
  2. d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

    No nosso caso P = 2 ,   2 ,   - 4 = ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 )   e π : 2 ,   2 ,   - 1 , - 6 = ( a ,   b ,   c ,   d ) . Colocando os valores na fórmula e calculando, temos:

    d P , π = 2.2 + 2.2 + - 1 . - 4 - 6 2 2 + 2 2 + ( - 1 ) 2 = 6 3 = 2

    Chegamos na distância em que queríamos: d P , π = 2

    Passo 3

  3. Nesse item temos a equação geral de dois planos e queremos calcular a distância entre eles. Porque o enunciado falou em distância perpendicular? É só para enfatizar que a distância que devemos calcular é a menor distância entre os planos!
  4. O enunciado nos dá uma informação preciosa: de que os planos são paralelos, ou seja, possuem uma distância entre si!! Então, se eles são paralelos e para calcular a distância entre eles vamos escolher um ponto de um dos planos e calcular a distância de ponto a plano ;).

    Temos as seguintes equações gerais:

    4 x - 8 y - z = 9         e       2 x - 4 y - z 2 = 5

    Vamos pegar um ponto da equação 4 x - 8 y - z = 9 . Sabemos que x ,   y   e   z são coordenadas de um ponto pertencente ao plano. Assim, se chutarmos que x = 0 e y = 0 , quanto vale z ?   Vamos jogar na expressão os valores de x e y para descobrir:

    4 x - 8 y - z = 9 → z = - 9

    Portanto, temos o ponto P = ( 0 ,   0 ,   - 9 ) . Lembrando, que poderíamos escolher qualquer outro ponto desde que satisfizesse a equação do plano.

    Agora, só falta calcular pela fórmula a distancia do ponto P = ( 0 ,   0 ,   - 9 ) ao outro plano   2 x - 4 y - z 2 = 5 . Colocando os valores na fórmula, temos:

    d P , π = 2.0 + ( - 4 ) . 0 + - 1 2 . - 9 - 5 2 2 + ( - 4 ) 2 + - 1 2 2 = 1 2 81 4 = 1 2 81 2 = 1 9

    d P , π = 1 9

    Já estamos craques em calcular a distância entre ponto e plano ;)

    Passo 4

  5. Para finalizar, último item!! Nesse item devemos primeiro verificar que a reta e o plano que nos são dados são paralelos.

Bom, para verificarmos o paralelismo como vimos no tópico “Posições Relativas de Retas e Planos” se temos o vetor diretor da reta r → = ( e ,   f ,   g ) e a equação geral do plano com vetor normal ( a ,   b ,   c ) , basta verificarmos se:

a e + b f + c g = 0

E então testar um ponto para verificar se são paralelos ou se a reta está contida no plano.

Vamos retirar da expressões que temos as informações:

r → = e ,   f ,   g = 1 ,   0 ,   1

R = ( 1 ,   2 ,   2 )

a ,   b ,   c = ( 1 ,   2 , - 1 )

Assim,

a e + b f + c g = 0 → 1.1 + 2.0 + 1 . - 1 = 0

Já verificamos que a e + b f + c g = 0 só falta verificar que um ponto qualquer da reta não pertence ao plano. Pegando o ponto R = ( 1 ,   2 ,   2 ) que pertence á reta e substituindo na equação geral do plano:

x + 2 y - z = 3 → 1 + 2.2 - 2 = 3 = 3

Portanto, a reta está contida no plano, ou seja, a distância entre eles é ZERO.

Resposta

  1. d P , π = 2
  2. d P , π = 1 9
  3. d r , π = 0

Exercício Resolvido #4

Lista 2 – Unicamp – Ex 17

Considere as reta r e l dadas por: r : x = 0 ,   y = 2 + t e z = 1 + t ; l : x - 2 = z + 1 e y = 3 ;

  1. Mostre que r e l são reversas
  2. Encontre os planos π e α tais que: r ⊂ π ,   l ⊂ α e π é paralelo a α
  3. Encontre a distância entre os planos π e α do item anterior
  4. Encontre P em r e Q em l tais que a reta que passa por P e Q seja perpendicular a r e a l .
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Passo 1

  1. Temos que mostrar que as retas r e l são reversas. Para isso devemos fazer o produto misto entre os vetores ( A B → ,   r → ,   s → )