Exercícios Resolvidos de Distância entre Planos

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Enunciado

Considere o tetraedro A B C P onde A = ( 1 ,   0 ,   0 ) , B = ( 0 ,   2 ,   0 ) , C = ( 0 ,   0 ,   3 ) e P = ( 1 ,   - 1 ,   0 ) .

a) Ache uma equação para o plano π que contém os pontos A , B e C .

b) Calcule a distância de P a π .

c) Determine a medida angular θ entre o plano π e a reta r que passa por P e A .

d) Determine uma equação geral para cada plano que é paralelo ao plano π e dista 2 7 dele. Qual destes planos intercepta o tetraedro?

Passo 1

a) Esse plano terá como vetores diretores A B → = B - A = ( - 1 ,   2 ,   0 ) e B C → = C - B = ( 0 ,   - 2 ,   3 ) .

Então, podemos dizer que um vetor normal do plano π será o produto vetorial de A B → e B C → fechou?

Passo 2

Então bora calcular o produto vetorial A B → ∧ B C → :

A B → ∧ B C → = i ^ j ^ k ^ - 1 2 0 0 - 2 3 = 6 i ^ + 3 j ^ + 2 k ^ = ( 6 ,   3 ,   2 )

Fechou, o vetor normal do plano π é n → = ( 6 ,   3 ,   2 ) , então a equação dele vai ser assim:

6 x + 3 y + 2 z + d = 0

Agora temos que substituir um ponto do plano π nessa equação para encontrarmos o valor de d ok?

Passo 3

Substituindo o ponto A na equação (mas também poderia ser B ou C ):

6.1 + 3.0 + 2.0 + d = 0

d = - 6

Ou seja, a equação do plano π é

6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0

Passo 4

b) Relembrando a fórmula da distância entre ponto e plano:

d P ,   π = a x + b y + c z + d a 2 + b 2 + c ²

Beleza, bora substituir os valores:

d P ,   π = 6.1 + 3 . ( - 1 ) + 2.0 - 6 6 2 + 3 2 + 2 ²

d P ,   π = 6 - 3 - 6 49

Então a distância entre o plano π e o ponto P é:

d P ,   π = 3 7

Passo 5

c) A reta r que passa por P e A vai ter vetor diretor A P → = P - A = ( 0 ,   - 1 ,   0 ) . Pra calcular o ângulo entre essa reta e o plano π , basta calcularmos o ângulo entre A P → e o vetor normal n → de π utilizando produto escalar:

s e n θ = n → . A P → n → . | A P → |

s e n θ = ( 6 ,   3 ,   2 ) . ( 0 ,   - 1 ,   0 ) ( 6 ,   3 ,   2 ) . | ( 0 ,   - 1 ,   0 ) |

s e n θ = - 3 7.1

s e n θ = 3 7

Então o ângulo entre a reta e o plano vai ser:

θ = a r c s e n 3 7 ≅ 25,4 °

Passo 6

d) Só vão existir 2 planos que satisfaçam essas condições: um vai estar “na frente” de π e o outro vai estar “atrás”. Ambos são paralelos a ele e têm uma distância de 2 7 de π certo?

Bom, primeiramente, se eles são paralelos a π , o seu vetor normal também vai ser n → , logo, a equação geral dos dois vai ser nesse estilo aqui:

6 x + 3 y + 2 z + d = 0

E novamente precisamos descobrir esse tal desse d que satisfaça o que queremos ok?

Passo 7

Para encontrarmos a equação completa do plano, precisamos achar um ponto em cada um dos planos que tenha uma distância de 2 7 até π . Igualando a fórmula da distância entre ponto e plano a 2 7 :

a x + b y + c z + d a 2 + b 2 + c ² = 2 7

6 . x + 3 . y + 2 . z - 6 6 2 + 3 2 + 2 ² = 2 7

6 . x + 3 . y + 2 . z - 6 7 = 2 7

6 . x + 3 . y + 2 . z - 6 = 2

Como temos um módulo ali, vamos chegar nas duas possíveis respostas:

6 x + 3 y + 2 z - 6 = 2 → π ' :   6 x + 3 y + 2 z - 8 = 0

6 x + 3 y + 2 z - 6 = - 2 → π ' ' :   6 x + 3 y + 2 z - 4 = 0

Boaaa, encontramos nossos 2 planos :D

Na imagem acima temos em verde o plano π ' ' , em vermelho o plano π e em roxo o plano π ' , vistos lateralmente ;)

Passo 8

Para encontrarmos qual dos 2 planos intercepta o tetraedro, vamos verificar qual deles tem a menor distância até o ponto P .

Isso porque lembra que o plano π contem os pontos A , B e C , certo? E esses pontos nós vamos ver como a base do tetraedro.

Então o tetraedro vai “em direção” ou ao plano π ' ou ao plano π ' ' . Olha o desenho ali no passo anterior pra ficar mais claro hehe

Resumindo: o ponto P = ( 1 ,   - 1 ,   0 ) é o “pico” desse tetraedro. Então o plano que estiver mais próximo de P é o plano que passa pelo tetraedro.

Passo 9

Substituindo π ' e π ' ' na equação da distância entre ponto e plano:

d π ' ,   P = 6.1 + 3 . - 1 + 2.0 - 8 6 2 + 3 2 + 2 ² = - 5 7 = 5 7

d π ' ' ,   P = 6.1 + 3 . - 1 + 2.0 - 4 6 2 + 3 2 + 2 ² = - 1 7 = 1 7

Como d π ' ' ,   P < d π ' ,   P , ou seja, como o plano π ' ' está mais próximo do ponto P do que π ' , então é o plano π ' ' que intercepta o tetraedro :)

Observe abaixo com os devidos pontos do tetraedro.

Resposta

a) 6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0

b) d P ,   π = 3 7

c) θ = a r c s e n 3 7 ≅ 25,4 °

d) π ' :   6 x + 3 y + 2 z - 8 = 0

π ' ' :   6 x + 3 y + 2 z - 4 = 0 (esse intercepta o tetraedro)

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Calcular a distância entre os planos paralelos:a) π 1 : 2 x + 2 y + 2 z - 5 = 0 e π 2 : x + y + z - 3 = 0
Calcular a distância entre os planos paralelos:b) π 1 : x - 2 z + 1 = 0 e π 2 : 3 x - 6 z - 8 = 0
Escrever as equações dos planos paralelos ao plano π : 3 x - 2 y - 6 z - 5 = 0 que distam 5 unidades da origem.
Dê uma equação do plano γ , simétrico de α :x + y - z + 5 = 0 em relação ao plano β :x + y - z - 4 = 0 .
Ache equações paramétricas da reta r ' , simétrica da reta r : x - 1 = y = z em relação ao plano x + y - z - 3= 0 .