Exercícios Resolvidos de Distância entre Planos

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Enunciado

  1. Encontre a distância do plano π : 2 x + 2 y - z = 6 e o ponto P = ( 2 ,   2 ,   - 4 )
  2. Encontre a distância perpendicular entre os planos (paralelos):   4 x - 8 y - z = 9 e 2 x - 4 y - z 2 = 5
  3. Verifique que a reta x - 1 = z - 2 e y = 2 é paralela ao plano x + 2 y - z = 3 e encontre a distância perpendicular entre eles.

Passo 1

Esse exercício mescla o cálculo de várias distâncias. O item a nós já fizemos na questão anterior, mas nunca é demais treinar ainda mais quando essa é uma questão que envolve a decoreba de uma fórmula!! ;). O item b é a distância entre dois planos. E para terminar, o item c a distância entre reta e plano.

Passo 2

  1. Devemos encontrar a distância entre o plano π : 2 x + 2 y - z = 6 e o ponto P = ( 2 ,   2 ,   - 4 ) . Sabemos que para calcular essa distância temos a fórmula:
  2. d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

    No nosso caso P = 2 ,   2 ,   - 4 = ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 )   e π : 2 ,   2 ,   - 1 , - 6 = ( a ,   b ,   c ,   d ) . Colocando os valores na fórmula e calculando, temos:

    d P , π = 2.2 + 2.2 + - 1 . - 4 - 6 2 2 + 2 2 + ( - 1 ) 2 = 6 3 = 2

    Chegamos na distância em que queríamos: d P , π = 2

    Passo 3

  3. Nesse item temos a equação geral de dois planos e queremos calcular a distância entre eles. Porque o enunciado falou em distância perpendicular? É só para enfatizar que a distância que devemos calcular é a menor distância entre os planos!
  4. O enunciado nos dá uma informação preciosa: de que os planos são paralelos, ou seja, possuem uma distância entre si!! Então, se eles são paralelos e para calcular a distância entre eles vamos escolher um ponto de um dos planos e calcular a distância de ponto a plano ;).

    Temos as seguintes equações gerais:

    4 x - 8 y - z = 9         e       2 x - 4 y - z 2 = 5

    Vamos pegar um ponto da equação 4 x - 8 y - z = 9 . Sabemos que x ,   y   e   z são coordenadas de um ponto pertencente ao plano. Assim, se chutarmos que x = 0 e y = 0 , quanto vale z ?   Vamos jogar na expressão os valores de x e y para descobrir:

    4 x - 8 y - z = 9 → z = - 9

    Portanto, temos o ponto P = ( 0 ,   0 ,   - 9 ) . Lembrando, que poderíamos escolher qualquer outro ponto desde que satisfizesse a equação do plano.

    Agora, só falta calcular pela fórmula a distancia do ponto P = ( 0 ,   0 ,   - 9 ) ao outro plano   2 x - 4 y - z 2 = 5 . Colocando os valores na fórmula, temos:

    d P , π = 2.0 + ( - 4 ) . 0 + - 1 2 . - 9 - 5 2 2 + ( - 4 ) 2 + - 1 2 2 = 1 2 81 4 = 1 2 81 2 = 1 9

    d P , π = 1 9

    Já estamos craques em calcular a distância entre ponto e plano ;)

    Passo 4

  5. Para finalizar, último item!! Nesse item devemos primeiro verificar que a reta e o plano que nos são dados são paralelos.

Bom, para verificarmos o paralelismo como vimos no tópico “Posições Relativas de Retas e Planos” se temos o vetor diretor da reta r → = ( e ,   f ,   g ) e a equação geral do plano com vetor normal ( a ,   b ,   c ) , basta verificarmos se:

a e + b f + c g = 0

E então testar um ponto para verificar se são paralelos ou se a reta está contida no plano.

Vamos retirar da expressões que temos as informações:

r → = e ,   f ,   g = 1 ,   0 ,   1

R = ( 1 ,   2 ,   2 )

a ,   b ,   c = ( 1 ,   2 , - 1 )

Assim,

a e + b f + c g = 0 → 1.1 + 2.0 + 1 . - 1 = 0

Já verificamos que a e + b f + c g = 0 só falta verificar que um ponto qualquer da reta não pertence ao plano. Pegando o ponto R = ( 1 ,   2 ,   2 ) que pertence á reta e substituindo na equação geral do plano:

x + 2 y - z = 3 → 1 + 2.2 - 2 = 3 = 3

Portanto, a reta está contida no plano, ou seja, a distância entre eles é ZERO.

Resposta

  1. d P , π = 2
  2. d P , π = 1 9
  3. d r , π = 0

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Dê uma equação do plano γ , simétrico de α :x + y - z + 5 = 0 em relação ao plano β :x + y - z - 4 = 0 .
Ache equações paramétricas da reta r ' , simétrica da reta r : x - 1 = y = z em relação ao plano x + y - z - 3= 0 .