Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

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Enunciado

Se λ 1 = - 2 , λ 2 = - 1 e λ 3 = 0 são os autovalores de uma matriz A , então os autovalores de A + I 200 são:

( a ) 1 ,   - 1   e   0

( b ) - 2 200 , 1   e   0

( c ) 1 ,   1   e   0

( d ) 2 200 ,   1   e   0

Passo 1

O enunciado não especificou qual a matriz que está usando. Isso nos induz a pensar que qualquer matriz com A que possua esses autovalores levará no mesmo resultado! Então vamos escolher uma favorável pra gente né haha.

Vamos lá, se uma matriz tem autovalores - 2 , - 1 e 0 , então ela pode ser a seguinte:

- 2 0 0 0 - 1 0 0 0 0

Assim quando fazemos det ⁡ A - λ I , temos:

- 2 - λ 0 0 0 - 1 - λ 0 0 0 0 - λ

p λ = - 2 - λ - 1 - λ - λ = 0

λ = - 2 ; λ = - 1 ; λ = 0

Passo 2

Ta, mas o que ele quer são os autovalores de A + I 200 !!! Primeiro vamos achar A + I :

- 2 0 0 0 - 1 0 0 0 0 + 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = - 1 0 0 0 0 0 0 0 1

Agora vamos achar os autovalores disso:

- 1 - λ 0 0 0 0 - λ 0 0 0 1 - λ

p λ = - 1 - λ - λ 1 - λ = 0

λ = - 1 ; λ = 0 ; λ = 1

Muito bom, mas ainda não era isso que ele tinha pedido né! Falta elevar a 200 !

Passo 3

Bom, lembra que quando diagonilzamos uma matriz ela fica assim:

A = P D P - 1

E se elevamos ela a 200 temos o seguinte:

A 200 = P D 200 P - 1

Opa, e essa matriz D é a matriz diagonal com os autovalores de A né?? Então se elevamos A 200 estamos elevando a matriz diagonal de seus autovalores a 200 que é o mesmo que elevar seus autovalores a 200 ! Então os autovalores de A + I 200 são:

λ 1 = - 1 200 = 1

λ 2 = 0 200 = 0

λ 3 = 1 200 = 1

Ou seja, letra c

Resposta

Letra ( c )

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Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .
Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .