Se (1,1) e (2,1) são autovetores de A associados aos autovalores 2 e -1, respectivamente, calcule .
(a) ![]()
(b) ![]()
(c) ![]()
(d) ![]()
Passo 1
Queremos elevar uma matriz a um expoente real, então vamos precisar diagonalizar a matriz.
Diagonalizar significa escrever uma matriz A como o produto de 3 matrizes:
onde P é a matriz com os autovetores nas colunas e D é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal.
O enunciado deu que (1,1) é autovetor associado a e (2,1) é autovetor associado a .
Então já podemos escrever nossas matrizes P e D:
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Se calcularmos a inversa de P, vamos encontrar:
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Passo 2
Então:
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Para elevar A a 5, só precisamos elevar a matriz D da decomposição anterior a 5, ou seja:
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Fazendo esse produto de matrizes, vamos achar:
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Resposta
(b) ![]()