Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

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Enunciado

Se (1,1) e (2,1) são autovetores de A associados aos autovalores 2 e -1, respectivamente, calcule A 5 .

(a)

(b)

(c)

(d)

Passo 1

Queremos elevar uma matriz a um expoente real, então vamos precisar diagonalizar a matriz.

Diagonalizar significa escrever uma matriz A como o produto de 3 matrizes:

A = P D P - 1

onde P é a matriz com os autovetores nas colunas e D é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal.

O enunciado deu que (1,1) é autovetor associado a λ = 2 e (2,1) é autovetor associado a λ = - 1 .

Então já podemos escrever nossas matrizes P e D:

Se calcularmos a inversa de P, vamos encontrar:

Passo 2

Então:

Para elevar A a 5, só precisamos elevar a matriz D da decomposição anterior a 5, ou seja:

Fazendo esse produto de matrizes, vamos achar:

Resposta

(b)

Exercícios de Livros Relacionados

Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .
Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .