Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2018.2, Questão 4

Se (1,1) e (2,1) são autovetores de A associados aos autovalores 2 e -1, respectivamente, calcule Equation .

(a)

(b)

(c)

(d)

Passo 1

Queremos elevar uma matriz a um expoente real, então vamos precisar diagonalizar a matriz.

Diagonalizar significa escrever uma matriz A como o produto de 3 matrizes:

Equation

onde P é a matriz com os autovetores nas colunas e D é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal.

O enunciado deu que (1,1) é autovetor associado a Equation e (2,1) é autovetor associado a Equation .

Então já podemos escrever nossas matrizes P e D:

Se calcularmos a inversa de P, vamos encontrar:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então:

Para elevar A a 5, só precisamos elevar a matriz D da decomposição anterior a 5, ou seja:

Fazendo esse produto de matrizes, vamos achar:

Resposta

(b)

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