Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 214 – Ext 7.23 – b)

Calcule Equation

Passo 1

Bom, se alguém quiser multiplicar essa matriz Equation vezes fique a vontade. Pessoalmente eu prefiro fazer de um jeito que não leve minha vida toda haha. Vamos diagonalizar ela!

Primeiro passo, achar os autovalores:

Equation

Equation

Logo, temos como autovalores Equation , Equation e Equation .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora encontramos os autovetores:

Equation

Equation

Equation

Como não temos nenhuma condição para Equation , ele pode assumir qualquer valor. Assim, um autovetor que possui autovalor Equation é:

Equation

Equation

Equation

Equation

Assim, um autovetor que possui autovalor Equation é:

Equation

Equation

Equation

Equation

Assim, um autovetor que possui autovalor Equation é:

Equation

Passo 3

Já temos nossa Equation e nossa Equation :

Equation

Equation

Vamos achar a Equation agora:

Equation

Beleza, achamos nossa Equation

Equation

Passo 4

Agora podemos resolver: Equation

Obviamente não vamos resolver Equation , então podemos escrever o resultado como:

Equation

Resposta

Equation

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