Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

UFRJ, Álgebra Linear, P3 - 2017.1, Questão 13

Considere as afirmativas abaixo:

Equation Se Equation é autovalor de Equation então Equation é autovalor de Equation

Equation Se Equation é autovetor de Equation , então Equation é autovetor de Equation

Equation (a) Ambas são falsas

(b) Equation é verdadeira e Equation é falsa

Equation (c) Equation

(d) Equation Ambas são verdadeiras

Passo 1

Lembra como elevamos uma matriz ao quadrado?

Diagonalizamos e elevamos apenas a matriz Equation , dos autovalores, dessa forma:

Equation

Equation

Ou seja, vamos supor que minha matriz Equation tem essa cara:

Equation

Quando elevada ao quadrado vai ficar:

Equation

Ou seja, meus autovalores mudaram, agora são os autovalores antigos ao quadrado! Assim, minha primeira afirmativa é falsa!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para analisar a segunda afirmativa, vamos voltar a dar uma olhada na forma diagonalizada ao quadrado:

Equation

Equation

Repara que a matriz Equation e consequentemente a matriz Equation não mudam. Essas são as matrizes formadas pelos autovetores, assim podemos chegar a conclusão que os autovetores permanecem os mesmos!

Dessa forma, a segunda afirmativa é verdadeira.

Resposta

c

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas