Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

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Enunciado

Considere a matriz A e a base canônica α do R 3

A = 2 2 - 1 - 1 - 1 1 2 2 - 1 = T α α

  1. Determine uma base β do R 3 tal que D = T β β é diagonal.
  2. Determine D.
  3. Escreva a relação entre as matrizes A e D usando matrizes de mudança de base.
  4. Associe a relação obtida no item (b) com a expressão A = P D Q e mostre que
  5. A n = P D n Q

  6. Calcule A 2019 .

Passo 1

Nosso primeiro passo para determinar a base β é identificar quais são os vetores que a compõem. Como D = T β β é uma matriz diagonal (que só possui elementos na diagonal principal), sabemos que isto só é possível de se obter com uma base única β .

Esta base β é tal que seus elementos são os autovetores da transformação linear!

Portanto, determinar β significa identificar os autovetores de A . Para isto, precisamos identificar primeiro os autovalores λ associado a cada autovetor tal que:

det ⁡ A - I λ = 0

Lembrando que I é a matriz identidade. Portanto, temos que calcular o determinante da seguinte matriz:

2 - λ 2 - 1 - 1 - 1 - λ 1 2 2 - 1 - λ = 2 - λ - 1 - λ 2 + 4 + 2 - - 2 - 1 - λ + 2 2 - λ - 2 - 1 - λ

2 - λ 1 + 2 λ + λ 2 + 6 - 2 + 2 λ + 4 - 2 λ + 2 + 2 λ

2 + 4 λ + 2 λ 2 - λ - 2 λ 2 - λ 3 + 6 - 8 + 2 λ

- λ 3 + λ = - λ λ 2 - 1 = λ λ - 1 λ + 1

Percebam que é bastante importante fatorarmos o polinômio para encontrarmos as raízes. Ao igualarmos o determinante da matriz acima a zero, vamos obter:

λ λ - 1 λ + 1 = 0

Cujas raízes (autovalores) são 0 , 1 e - 1 .

Passo 2

Nosso papel agora é descobrir quais os autovetores associados a cada autovalor. Os autovetores v = x , y , z são obtidos pela seguinte relação:

T v = A = λ v

Para λ = 0 , temos:

A ⋅ v = 0 ⋅ v = 0

2 2 - 1 - 1 - 1 1 2 2 - 1 ⋅ x y z = 0 0 0

Obtemos então o seguinte sistema:

2 x + 2 y - z = 0 - x - y + z = 0 2 x + 2 y - z = 0 ⟹ 2 x + 2 y - z = 0 - 2 x - 2 y + 2 z = 0 2 x + 2 y - z = 0

Agora, vamos subtrair a terceira linha da primeira linha L 3 → L 3 - L 1 , e a segunda linha com a primeira linha L 2 → L 2 - L 1 . Logo,

2 x + 2 y - z = 0 z = 0 0 = 0

Portanto, obtemos que z = 0 e da primeira linha, x = - y . Logo, o nosso primeiro autovetor é obtido de x , y , z = x , - x , 0 = x 1 , - 1,0 . Portanto, v 1 = 1 , - 1,0

Agora, vamos repetir o procedimento para λ = 1 .

A ⋅ v = 1 ⋅ v = v

2 2 - 1 - 1 - 1 1 2 2 - 1 ⋅ x y z = x y z

Obtemos então o seguinte sistema:

2 x + 2 y - z = x - x - y + z = y 2 x + 2 y - z = z ⟹ x + 2 y - z = 0 - x - 2 y + z = 0 2 x + 2 y - 2 z = 0

Somando a segunda linha com a primeira L 2 → L 2 + L 1 e subtraindo a terceira linha de duas vezes a primeira L 3 → L 3 - 2 L 1 , obtemos:

x + 2 y - z = 0 0 = 0 - 2 y = 0

Portanto, obtemos que y = 0 e da primeira linha, x = z . Logo, o nosso segundo autovetor é obtido de x , y , z = x , 0 , x = x 1 , 0 , 1 . Portanto, v 2 = 1 , 0 , 1 .

Por fim, para λ = - 1 .

A ⋅ v = - 1 ⋅ v

2 2 - 1 - 1 - 1 1 2 2 - 1 ⋅ x y z = - 1 ⋅ x y z

Obtemos então o seguinte sistema:

2 x + 2 y - z = - x - x - y + z = - y 2 x + 2 y - z = - z ⟹ 3 x + 2 y - z = 0 - x + z = 0 2 x + 2 y = 0

Da segunda e da terceira linha obtemos que z = x e y = - x . Logo, o nosso terceiro autovetor é obtido de x , y , z = x , - x , x = x 1 , - 1,1 . Portanto, v 3 = 1 , - 1,1

Como todos autovetores são distintos, a base β é dada por:

β = 1 , - 1,0 , 1,0 , 1 , 1 , - 1,1

Passo 3

Agora, vamos obter a matriz D . Este passo é simples, pois todas as informações que precisamos, já foi obtida nos passos anteriores.

Como a matriz D = T β β está relacionada a base β , uma base de autovetores, esta nossa matriz D será uma matriz diagonal. Nas posições da diagonal principal estarão os autovalores associado a cada autovetor.

É importante tomarmos cuidado agora. Cada elemento a i i estará associado ao autovalor λ do elemento de ordem i da base. Por exemplo, se temos o elemento a 22 , deveremos pegar o autovalor do segundo elemento da base β , que no caso é 1.

Portanto, a matriz D é:

D = T β β = 0 0 0 0 1 0 0 0 - 1

Passo 4

Agora, precisamos relacionar A e D utilizando as matrizes de mudança de base I β α e I α β . Para isto, basta lembrarmos que:

A = T α α = I α β ⋅ T β β ⋅ I β α

Só que como D = T β β , temos:

A = I α β ⋅ D ⋅ I β α

Passo 5

Agora, vamos precisar utilizar a relação do item anterior com a expressão A = P D Q para provar que:

A n = P D n Q

Bom, nosso primeiro passo é identificar quem é esse P e Q . Ao compararmos com a resposta do item anterior, I α β ⋅ D ⋅ I β α = P D Q , verificamos que P = I α β e Q = I β α = I α β - 1 = P - 1 .

Portanto, podemos reescrever A como A = P D Q ou A = P D P - 1 (lembrando que P - 1 é a matriz inversa de P ). Esta última notação será fundamental para provarmos a nossa relação.

Agora, vamos provar a relação de A n . Para isto, vamos buscar identificar um padrão ao multiplicarmos a matriz A várias vezes. Sendo assim, temos:

A 2 = A A = P D P - 1 P D P - 1 = P D P - 1 P D P - 1

Como o produto de uma matriz pela sua inversa é igual a identidade, temos:

A 2 = P D I D P - 1 = P D D P - 1 = P D 2 P - 1

Agora, vamos para A 3 . Portanto,

A 3 = A 2 A = P D 2 P - 1 P D P - 1 = P D 2 P - 1 P D P - 1 = P D 2 I D P - 1 = P D 2 D P - 1 = P D 3 P - 1

Para A 4 , temos:

A 4 = A 3 A = P D 3 P - 1 P D P - 1 = P D 3 P - 1 P D P - 1 = P D 3 I D P - 1 = P D 3 D P - 1 = P D 4 P - 1

E assim já podemos concluir o seguinte padrão:

A n = P D n P - 1 = P D n Q

E assim está provada a relação da questão.

Passo 6

Para finalizarmos a questão, precisamos calcular A 2019 , utilizando a relação provada no passo anterior, temos:

A 2019 = P D 2019 P - 1

Bom, vamos começar calculando D 2019 , que é mais fácil. Como temos uma matriz diagonal, basta elevarmos os elementos da diagonal principal a 2019. Portanto,

D 2019 = 0 2019 0 0 0 1 2019 0 0 0 - 1 2019 = 0 0 0 0 1 0 0 0 - 1 = D

Portanto, D 2019 = D .

Agora, precisamos descobrir quem é a matriz P e P - 1 . Para obtermos a matiz P, basta colocarmos em cada coluna as coordenadas dos nossos autovetores. Portanto, na primeira coluna temos as coordenadas do primeiro autovetor. Na segunda coluna as coordenadas do segundo autovetor, e, por fim, na terceira coluna, as coordenadas do terceiro autovetor.

Lembrando que a nossa base β é dada por,

β = 1 , - 1,0 , 1,0 , 1 , 1 , - 1,1

P = 1 1 1 - 1 0 - 1 0 1 1

Agora, precisamos inverter a nossa matriz P , para obter P - 1 . Utilizando o método de escalonamento, temos:

1 1 1 : 1 0 0 - 1 0 - 1 : 0 1 0 0 1 1 : 0 0 1

Somando a segunda linha com a primeira L 2 → L 2 + L 1 , temos:

1 1 1 : 1 0 0 0 1 0 : 1 1 0 0 1 1 : 0 0 1

Subtraindo a terceira linha da segunda L 3 → L 3 - L 2 e subtraindo a primeira linha da segunda L 1 → L 1 - L 2 , temos:

1 0 1 : 0 - 1 0 0 1 0 : 1 1 0 0 0 1 : - 1 - 1 1

Por fim, subtraímos a primeira linha da terceira L 1 → L 1 - L 3 . Logo,

1 0 0 : 1 0 - 1 0 1 0 : 1 1 0 0 0 1 : - 1 - 1 1

E assim, a nossa matriz P - 1 é dada por:

P - 1 = 1 0 - 1 1 1 0 - 1 - 1 1

Agora, basta fazer a multiplicação dada por A 2019 = P D 2019 P - 1 . Portanto,

A 2019 = 1 1 1 - 1 0 - 1 0 1 1 ⋅ 0 0 0 0 1 0 0 0 - 1 ⋅ 1 0 - 1 1 1 0 - 1 - 1 1

A 2019 = 0 1 - 1 0 0 1 0 1 - 1 ⋅ 1 0 - 1 1 1 0 - 1 - 1 1

A 2019 = 2 2 - 1 - 1 - 1 1 2 2 - 1 = A

E assim finalizamos a nossa questão!

Resposta

  1. A base β é dada por:
  2. β = 1 , - 1,0 , 1,0 , 1 , 1 , - 1,1

  3. A matriz D é dada por:
  4. D = T β β = 0 0 0 0 1 0 0 0 - 1

  5. A relação entre as matrizes A   e   D é dada por:
  6. A = I α β ⋅ D ⋅ I β α

  7. Para provar a relação basta verificar o padrão ao multiplicar as matrizes A .
  8. O resultado de A 2019 é:

A 2019 = 2 2 - 1 - 1 - 1 1 2 2 - 1 = A

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