Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2015.2.2, Questão 05

Considere a matriz Equation e o vetor Equation . Qual é a direção aproximada do vetor Equation ?

Equation A direção do vetor Equation

Equation A direção do vetor Equation

Equation A direção do vetor Equation

Equation A direção do vetor Equation

Passo 1

Bom, para elevar uma matriz a qualquer expoente temos que primeiro diagonalizar ela né? Vamos usar o método do determinante e do traço para achar os autovalores:

Equation

Equation

Então temos Equation e Equation . Se você não for muito bom nessa coisa de soma e produto pode fazer do jeito convencional mesmo haha.

Agora vamos achar os autovetores:

Equation :

Equation

Equation

Equation

Equation :

Equation

Equation

Equation

Então, temos:

Equation

Invertendo Equation :

Equation

Finalmente:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Agora aplicamos Equation :

Equation

Repare que Equation é muito grande comparado o Equation e ao Equation que estão somando, então como queremos a direção aproximada, podemos desconsiderar eles:

Equation

Temos um escalar (um enorme, mas continua sendo um escalar) multiplicado pelo vetor Equation . Então esse vetor tem a mesma direção do Equation concorda? E está aí a nossa resposta haha.

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Resposta

Letra Equation

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