Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

PUCRIO, Álgebra Linear I - MAT1200, P4 - 2018.2, Questão 3abc

Considere o plano Equation em Equation que passa pela origem de equação cartesiana

Equation

e a transformação linear Equation espelhamento (ou reflexão) em relação ao plano Equation Denote por Equation a matriz de E na base canônica.

(a) Considere a base ortonormal de Equation

Equation

e o vetor Equation (escrito na base canônica). Determine a segunda coordenada de v na base Equation

(b) Escreva Equation na forma Equation , onde Q é uma matriz ortogonal e D é diagonal.

(c) Determine explicitamente a matriz

Equation

Passo 1

(a) Vamos dizer que:

Equation

Equation

Equation

Para escrever v na base Equation , fazemos:

Equation

Queremos achar b, a segunda coordenada de v na base Equation .

Para isso, vamos tirar o produto interno com Equation dos dois lados dessa igualdade:

Equation

Pela linearidade do produto interno:

Equation

Mas a base Equation é ortonormal, então:

Equation

Logo:

Equation

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) Lembra que quando escrevemos Equation na forma Equation , a matriz D é a matriz diagonal com autovalores na diagonal principal e a matriz Q é uma matriz ortogonal com autovetores ortonormais nas colunas.

A matriz Equation é uma matriz de reflexão em torno do plano de equação Equation .

A direção normal a esse plano é gerada pelo vetor Equation

Se a gente considera a base ortonormal de Equation dada no item (a):

Equation

Temos que Equation é ortogonal ao plano Equation , então:

Equation

Ou seja, Equation é autovetor associado a Equation

Porém Equation e Equation não são ortogonais a Equation , mas são vetores de Equation (reparem que os dois satisfazem a equação de Equation ).

Por isso:

Equation

Equation

Ou seja, Equation e Equation são autovetores associados a Equation .

Logo a representação diagonal é:

E:

Passo 3

(c) Vamos começar calculando Equation e Equation separado.

Temos:

Equation

Mas:

Ou seja: Equation Equation

De maneira análoga:

Equation

Equation

Então:

Equation

Resposta

(a) Equation

(b)

(c) Equation

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