Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

Ver Teoria

Enunciado

Considere o plano π em R 3 que passa pela origem de equação cartesiana

π : 2 x - y - 2 z = 0

e a transformação linear E : R 3 →   R 3 espelhamento (ou reflexão) em relação ao plano π . Denote por E ε a matriz de E na base canônica.

(a) Considere a base ortonormal de R 3

β = 2 3 , - 1 3 , - 2 3 , 1 2 , 0 , 1 2 1 18 , 4 18 , - 1 18

e o vetor v = 1,1 , 1 (escrito na base canônica). Determine a segunda coordenada de v na base β .

(b) Escreva E ε na forma E ε = Q D Q T , onde Q é uma matriz ortogonal e D é diagonal.

(c) Determine explicitamente a matriz

A = E ε 1000 - E ε 1002

Passo 1

(a) Vamos dizer que:

v 1 = 2 3 , - 1 3 , - 2 3

v 2 = 1 2 , 0 , 1 2

v 3 = 1 18 , 4 18 , - 1 18

Para escrever v na base β , fazemos:

v = a v 1 + b v 2 + c v 3

Queremos achar b, a segunda coordenada de v na base β .

Para isso, vamos tirar o produto interno com v 2   dos dois lados dessa igualdade:

v , v 2 = a v 1 + b v 2 + c v 3 , v 2

Pela linearidade do produto interno:

v , v 2 = a v 1 , v 2 + b v 2 , v 2 + c v 3 , v 2

Mas a base β é ortonormal, então:

v 1 , v 2 = v 3 , v 2 = 0

Logo:

v , v 2 = b v 2 , v 2

b = v , v 2 v 2 , v 2

b = 1,1 , 1 ∙ 1 2 , 0 , 1 2 1 2 , 0 , 1 2 ∙ 1 2 , 0 , 1 2 = 2 2

Passo 2

(b) Lembra que quando escrevemos E ε   na forma E ε = Q D Q T , a matriz D é a matriz diagonal com autovalores na diagonal principal e a matriz Q é uma matriz ortogonal com autovetores ortonormais nas colunas.

A matriz E ε é uma matriz de reflexão em torno do plano de equação 2 x - y - 2 z = 0 .

A direção normal a esse plano é gerada pelo vetor 2 , - 1 , - 2 .

Se a gente considera a base ortonormal de R 3 dada no item (a):

β = 2 3 , - 1 3 , - 2 3 , 1 2 , 0 , 1 2 , 1 18 , 4 18 , - 1 18

Temos que v 1 = 2 3 , - 1 3 , - 2 3 é ortogonal ao plano π , então:

E v 1 = - v 1

Ou seja, v 1 é autovetor associado a λ = - 1

Porém v 2 = 1 2 , 0 , 1 2 e v 3 = 1 18 , 4 18 , - 1 18 não são ortogonais a π , mas são vetores de π (reparem que os dois satisfazem a equação de π ).

Por isso:

T v 2 = v 2

T v 3 = v 3

Ou seja, v 2 e v 3 são autovetores associados a λ = 1 .

Logo a representação diagonal é:

E:

Passo 3

(c) Vamos começar calculando E ε 1000 e E ε 100 2 separado.

Temos:

E ε 1000 = Q D 1000 Q T

Mas:

Ou seja: E ε 1000 = Q I Q T = Q Q T = I

De maneira análoga:

E ε 100 2 = Q D 100 2 Q T

E ε 1000 = Q I Q T = Q Q T = I

Então:

A = E ε 1000 - E ε 100 2 = I - I = 0

Resposta

(a) 2 2

(b)

(c) A = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .
Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .