Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

PUCRIO, Álgebra Linear I - MAT1200, P4 - 2017.2, Questão 2

Considere a reta Equation definida por

Equation

Seja Equation a tranformação linear que é a reflexão com relação a reta Equation

  1. Determine Equation
  2. Seja Equation onde Equation é o plano que contém Equation e é ortogonal à reta Equation Determine Equation
  3. Determine os autovalores de Equation e os autoespaços associados de cada autovalor.
  4. Determine uma base Equation de Equation tal que Equation seja diagonal.
  5. Equation é ortogonalmente diagonalizável? Se sua resposta foi afirmativa, diagonalize Equation ortogonalmente. Se sua resposta foi negativa, justifique.
  6. Determine Equation
  7. Determine uma base de Equation
  8. Determine explicitamente as matrizes Equation e Equation onde Equation é a matriz de Equation na base canônica.

Passo 1

(a) Queremos a reflexão do vetor Equation pela reta gerada por ele mesmo!

Mas nesses casos, quando o vetor pertence a reta da reflexão, o resultado vai ser o próprio vetor!

Assim:

Equation

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Passo 2

(b)A situação que temos é a seguinte:

Sabendo que o plano contém a origem e a reta também, esse ponto de interseção vai ser a própria origem.

Como Equation está nesse plano, ele vai ser ortogonal a reta em que estamos refletindo. Nesses casos, Equation

Passo 3

(c) Como Equation é uma reflexão por uma reta seus autovalores vão ser 1 e Equation .

O autoespaço associado ao autovalor 1 vai ser a própria reta pois assim como vimos na letra (a), as reflexões dos vetores pertencentes a reta em que estamos refletindo vão ser os próprios vetores.

Equation

Já o autoespaço associado ao autovalor Equation vai ser o plano Equation da letra (b) por ser o complemento ortogonal da nossa reta. Ou seja, por conter todos os vetores ortogonais a reta!

A reflexão de um vetor ortogonal ao espaço em que estamos refletindo vai ser o próprio vetor com sentido invertido (mesmo módulo e direção), por isso atribuímos esse autovalor.

Vamos então, achar Equation

Sei que Equation é ortogonal ao plano e ele contém a origem, assim, sua equação cartesiana vai ser:

Equation

Passo 4

(d) Basta que Equation seja a união de uma base de Equation com uma base de Equation , ou seja, Equation .

Temos a base de Equation

Equation

A base de Equation podemos tirar da equação cartesiana Equation :

Equation

Equation

Equation

Assim, Equation

Passo 5

(e) Para isso, precisamos achar uma base ortonormal de Equation formada de autovetores de Equation . Eu já tenho Equation , para transformar isso em ortogonal, vou substituir o terceiro vetor por um ortogonal aos dois primeiros que vou achar fazendo produto vetorial:

Equation

Então temos uma base ortogonal do Equation composta de autovetores de Equation : Equation ,

Equation

Se acharmos uma base ortonormal vai ficar mais fácil de invertermos na diagonalização! Pois quando temos uma base ortonormal nas colunas, Equation .

Vamos fazer isso então, apenas normalizando os vetores de Equation

Equation

Assim, Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 6

(f) Como Equation não é autovalor de Equation , a dimensão do autoespaço associado a ele, ou seja, o núcleo, vai ser 0!

Equation

Passo 7

(g) Antes de pensar em achar a imagem, bora testar uma coisa: vamos usar o TNI para achar a dimensão da imagem:

Equation

Equation

Como a imagem pertence ao Equation e sua dimensão é 3, ela vai ser o próprio Equation

Podemos, então, pegar qualquer base do Equation para ser base da imagem, como a canônica:

Equation

Passo 8

(h) Como Equation é uma matriz reflexão, se eu aplicá-la um número ímpar de vezes, vai resultar a primeira reflexão, ou seja, vai ser como se eu tivesse aplicado a matriz uma vez só. Assim, Equation .

Agora, se eu refletir (aplicando 1 vez) e depois refletir novamente, acabo voltando ao vetor inicial (aplicando 2 vezes) e isso não acontece apenas quando aplico 2 vezes, mas sempre que aplico um número par de vezes! Assim, Equation .

Passo 9

Vamos encontrar Equation para isso, é só multiplicar Equation que encontramos na letra e):

Equation

Equation

Equation

Assim, Equation e Equation

Resposta

(a) Equation

(b) Equation

(c) Equation e Equation é o plano Equation

(d) Equation

(e) Equation

(f) Equation

(g) Equation

(h) Equation e Equation

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