Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

UFRJ, Álgebra Linear, P4 - 2017.1, Questão 15

Considere o vetor Equation e a matriz Equation . Calcule Equation

(Dica: não é necessário encontrar o polinômio característico de Equation para calcular os autovalores de Equation )

(a) Equation

(b) Equation

(c) Equation

(d) Equation

Passo 1

Bom, vamos usar a dica e não calcular o polinômio característico. Beleza, mas então como eu vou saber quais os autovalores?

Vamos dar uma olhada na matriz Equation

Equation

Um autoespaço que podemos descobrir sem aquele processo é o núcleo, ou seja o autoespaço associado a Equation .

Todas as suas colunas são combinação linear umas das outras, ou seja, vamos ter uma imagem de dimensão igual a 1, aí pelo Equation conseguimos achar a dimensão do núcleo:

Equation

Equation

Ou seja, o 0 vai ser autovalor 3 vezes! Falta achar o quarto autovalor!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos usar o fato de que o traço da matriz, ou seja, a soma dos elementos da sua diagonal, é igual a soma dos autovalores:

Equation

Equation

Passo 3

Agora, para elevar a matriz a um expoente real precisamos diagonalizá-la :

Equation

A matriz que muda é a Equation , composta pelos autovalores, então vamos achar a nova matriz Equation :

Equation

Equation

Opa Equation , então Equation ou seja, Equation

Logo, para aplicar o vetor Equation em Equation é só aplicar em Equation

Passo 4

Calculando Equation

Equation

Resposta

b

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