Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2018.1, Questão 5

Dado que Equation e Equation , calcule Equation .

(a) Equation

(b) Equation

(c) Equation

(d) Equation

Passo 1

Se precisamos elevar uma matriz a um expoente real, vamos precisar diagonaliza-la e pra diagonalizar, precisamos dos autovalores e autovetores da matriz.

Para diagonalizar uma matriz, precisamos fazer:

Equation

Onde D é a matriz diagonal com autovalores na diagonal e P é a matriz com autovetores na coluna.

Lembrando que a ordem que os autovetores aparecem em P deve respeitar a ordem que os autovalores associados aparecem em D!

O enunciado não dá nada direto pra gente, mas ele diz que:

Equation

Equation

Isso significa que Equation é autovalor associado ao autovetor Equation e Equation é autovalor associado ao autovetor Equation .

Agora já podemos diagonalizar a matriz A!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A matriz D nesse caso é:

Equation

Seguindo a mesma ordem, a P vai ser:

Equation

Calculando a inversa de P, obtemos:

Equation

Agora já temos tudo que precisamos para calcular Equation , pois:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Resposta

(d) Equation

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