Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

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Enunciado

Dado que A 3,3 = ( 3,3 ) e A 4,5 = ( - 4 , - 5 ) , calcule A 11 .

(a) 9 8 9 - 1

(b) 9 - 16 81 125

(c) 9 11 8 - 10

(d) 9 - 8 10 - 9

Passo 1

Se precisamos elevar uma matriz a um expoente real, vamos precisar diagonaliza-la e pra diagonalizar, precisamos dos autovalores e autovetores da matriz.

Para diagonalizar uma matriz, precisamos fazer:

A = P D P - 1

Onde D é a matriz diagonal com autovalores na diagonal e P é a matriz com autovetores na coluna.

Lembrando que a ordem que os autovetores aparecem em P deve respeitar a ordem que os autovalores associados aparecem em D!

O enunciado não dá nada direto pra gente, mas ele diz que:

A 3,3 = ( 3,3 )

A 4,5 = - 4 , - 5

Isso significa que λ = 1 é autovalor associado ao autovetor ( 3,3 ) e λ = - 1 é autovalor associado ao autovetor ( - 4 , - 5 ) .

Agora já podemos diagonalizar a matriz A!

Passo 2

A matriz D nesse caso é:

D = 1 0 0 - 1

Seguindo a mesma ordem, a P vai ser:

P = 3 4 3 5

Calculando a inversa de P, obtemos:

P - 1 = 5 3 - 4 3 - 1 1

Agora já temos tudo que precisamos para calcular A 11 , pois:

A 11 = P D 11 P - 1

A 11 = 3 4 3 5 1 11 0 0 - 1 11 5 3 - 4 3 - 1 1 ⇒

A 11 = 3 4 3 5 1 0 0 - 1 5 3 - 4 3 - 1 1 ⇒

A 11 = 3 4 3 5 5 3 - 4 3 1 - 1 ⇒

A 11 = 9 - 8 10 - 9

Resposta

(d) 9 - 8 10 - 9

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