Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

UFRJ, Álgebra Linear, P3 - 2013.2, Questão 10

Se Equation , qual dentre as matrizes abaixo é igual a Equation .

Equation Equation

Equation Equation

Equation Equation

Equation Equation

Passo 1

Bom, falou em potenciação de matrizes já sabe o que fazer né? Diagonalizar! Então precisamos achar os autovalores e autovetores da matriz!

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

EITA CACETE! O que esses autovalores complexos estão fazendo aí caraaaa???!!! Pois é, muita sacanagem terem posto isso. Mas e aí, como resolvemos? Vamos resolver na marra! Pensa bem, temos uma matriz simples e Equation nem é um número tão grande, então vamos multiplicar ela por ela mesma Equation vezes!

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Você entendeu né? Se você fizer isso mais Equation vezes você chega no resultado. OOOU você pode perceber o padrão ai! Repara que a cada expoente par de Equation , os valores que temos na matriz estão multiplicados por Equation :

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Além disso, as matrizes com expoente par sempre tem a diagonal principal ou a secundária zerada! A única opção com uma diagonal zerada e com Equation é a Equation , então ela é a correta.

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Resposta

Letra Equation

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