Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

UFRJ, Álgebra Linear, P3 - 2013.1, Questão 09

Se Equation , Equation e Equation são os autovalores de uma matriz Equation , então os autovalores de Equation são:

Equation Equation

Equation Equation

Equation Equation

Equation Equation

Passo 1

O enunciado não especificou qual a matriz que está usando. Isso nos induz a pensar que qualquer matriz com Equation que possua esses autovalores levará no mesmo resultado! Então vamos escolher uma favorável pra gente né haha.

Vamos lá, se uma matriz tem autovalores Equation , Equation e Equation , então ela pode ser a seguinte:

Equation

Assim quando fazemos Equation , temos:

Equation

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ta, mas o que ele quer são os autovalores de Equation !!! Primeiro vamos achar Equation :

Equation

Agora vamos achar os autovalores disso:

Equation

Equation

Equation

Muito bom, mas ainda não era isso que ele tinha pedido né! Falta elevar a Equation !

Passo 3

Bom, lembra que quando diagonilzamos uma matriz ela fica assim:

Equation

E se elevamos ela a Equation temos o seguinte:

Equation

Opa, e essa matriz Equation é a matriz diagonal com os autovalores de Equation né?? Então se elevamos Equation estamos elevando a matriz diagonal de seus autovalores a Equation que é o mesmo que elevar seus autovalores a Equation ! Então os autovalores de Equation são:

Equation

Equation

Equation

Ou seja, letra Equation

Resposta

Letra Equation

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