Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

UFRJ, Álgebra Linear, P4 - 2018.1, Questão 2

Seja Equation Calcule Equation

(a) Equation

(b) Equation

(c) Equation

(d) Equation

Passo 1

Queremos elevar uma matriz a um expoente real, então vamos precisar diagonalizar a matriz!

Ou seja, vamos ter que fazer:

Equation

Onde D é a matriz diagonal com autovalores na diagonal e P é a matriz com autovetores na coluna.

Lembrando que a ordem que os autovetores aparecem em P deve respeitar a ordem que os autovalores associados aparecem em D!

Agora vamos calcular os autovalores.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para encontrar os autovalores de uma matriz, precisamos encontrar as raízes do polinômio característico:

Equation

Vamos ter então:

Para achar as raízes do polinômio característico, fazemos:

Daí tiramos que:

Equation

Equation

Passo 3

Agora usamos a definição de autovetor para achar os autoespaços associados a cada autovalor.

Para Equation :

Equation

Equation

Temos o sistema:

Equation

As duas equações nos dão que:

Equation

Então um autovetor associado a Equation é:

Equation

Fazendo a mesma coisa para Equation :

Equation

Equation

Temos o sistema:

Equation

Agora as duas equações nos dão que:

Equation

Então um autovetor associado a Equation é:

Equation

Passo 4

Agora já podemos diagonalizar a matriz A!

A matriz diagonal D vai ser:

Equation

Respeitando a ordem que os autovalores foram colocados, vamos ter a matriz P:

Equation

Calculando a inversa de P, vamos ter:

Equation

Agora, para elevar a matriz a 10, basta fazer:

Equation

Agora vamos escrever isso de forma parecida com o que temos nas alternativas.

Separando os termos que têm expoente dos que não têm:

Resposta

(b) Equation

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas