Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2016.1, Questão 13

Seja Equation uma matriz Equation , cujos autovetores estão nos eixos coordenados. Sabe-se que os autovalores associados Equation e Equation podem ser Equation , Equation ou Equation . Indicar quantas matrizes diferentes Equation podemos obter.

Equation

Equation Equation

Equation

Equation

Passo 1

Lembra o que fazemos para elevar raízes? Primeiro nós diagonalizarmos ela:

Equation

Como queremos o quadrado de Equation , basta elevarmos a matriz diagonal de autovalores por Equation também:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Próximo passo, o enunciado fala que os autovetores são os eixos coordenados. A única coisa que importa daí é que os autovetores são fixos! Então as matrizes Equation e Equation não mudam ;)

Dito isso, vemos que o número de matrizes Equation diferentes será igual ao número de matrizes Equation diferentes! Então vamos analisar nossa Equation :

Equation

Equation

Repare que Equation , logo, nossas matrizes Equation possíveis são:

Equation

Como temos Equation possibilidades para a matriz Equation , teremos Equation possibilidades para a matriz Equation .

Resposta

Letra Equation

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas