Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

UFPE, Álgebra Linear, 2º EE - 2015.1, Questão 4

Seja Equation o operador linear Equation .

Equation Calcule os autovalores de Equation .

Equation Para cada autovalor encontrado em Equation , encontre uma base para o autoespaço correspondente.

Equation Equation é diagonalizável? Se sim, exiba uma base Equation de Equation tal que a matriz Equation seja diagonal e exiba essa matriz.

Equation Sendo Equation a base canônica de Equation , calcule a potência Equation .

Passo 1

Equation A matriz de Equation na base canônica é dada por:

Equation

Calculando os autovalores:

Equation

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation Encontrando os autoespaços:

Equation :

Equation

Temos então que:

Equation

Daí temos que Equation e Equation é livre, então uma base para Equation é Equation .

Equation :

Equation

O sistema associado é:

Equation

De Equation temos:

Equation

De Equation temos:

Equation

O vetor genérico desse espaço é dado por:

Equation

Então uma base para Equation é Equation .

Equation :

Equation

Temos que:

Equation

Logo, Equation , e o vetor genérico desse espaço é:

Equation

Então uma base para Equation é Equation .

Passo 3

Equation Como Equation é um operador no Equation e possui Equation autovalores distintos, ela é diagonalizável. A base Equation tal que Equation seja diagonal é a base de autovetores:

Equation

E a matriz Equation será uma matriz diagonal de autovalores:

Equation

Obs.: Lembre-se de respeitar a ordem dos autovetores na base!!

Passo 4

Equation Sabemos que para elevarmos uma matriz precisamos diagonalizá-la! Por sorte, isso já foi praticamente feito pra gente nas últimas letras:

Equation

Equation

Invertendo Equation :

Equation

Substituindo a inversa:

Equation

Equation

Equation

Equation

Resposta

Equation Equation

Equation Uma base para Equation é Equation . Uma base para Equation é Equation . Uma base para Equation é Equation .

Equation Sim. Equation . Equation .

Equation Equation .

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