Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

UFPE, Álgebra Linear, 2º EE - 2019.1, Questão Q4

Seja Equation a transformação linear cuja matriz Equation com respeito à base canônica Equation é dada por Equation .

a) Determine os autovalores de Equation .

b) Determine uma base para cada autoespaço de Equation .

c) Exiba uma base Equation tal que Equation seja diagonal (e exiba essa matriz).

d) Seja Equation , Equation . Determine Equation .

Passo 1

a) Para encontrar os autovalores de Equation temos que:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

As raízes de Equation são

Equation

Equation

Equation e Equation são os autovalores de Equation .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos encontrar uma base para Equation . Pelo que o enunciado nos deu, temos que

Equation

Decompondo a matriz:

Equation

Equation

Equation

Como as matrizes Equation e Equation são L.I., elas formam uma base para Equation .

Obs: poderíamos também pegar as duas últimas matrizes, pois também são L.I. entre si.

Passo 3

b) Primeiro vamos calcular a base para Equation , o autoespaço relacionado a Equation . Temos que Equation se e somente se:

Equation

Multiplicando as matrizes temos que

Equation

Da segunda linha, temos que

Equation

Equation

Equation

Então:

Equation

Decompondo a matriz:

Equation

Equation

Como Equation e Equation são L.I, eles formam uma base para Equation .

Passo 4

Beleza, agora vamos calcular para Equation , o autoespaço relacionado a Equation . Temos que Equation se e somente se:

Equation

Multiplicando as matrizes temos que:

Equation

Da primeira linha, temos que Equation .

Da segunda linha, temos Equation .

Logo, Equation .

Então, Equation é uma base de Equation .

Passo 5

c) Se chamarmos de Equation a base formada por Equation e Equation (encontrados na letra b), teremos que

Equation

Passo 6

d) Antes de tudo, temos que Equation .

Pela fórmula de mudança de base, Equation , onde Equation é formado pelos vetores Equation , Equation e Equation . Logo Equation , enquanto Equation .

Beleza, agora podemos começar o exercício propriamente dito.

Passo 7

Vamos calcular Equation utilizando o método de Gauss-Jordan

Equation

Equation :

Equation

Equation :

Equation

Equation :

Equation

Equation :

Equation

Equation :

Equation

Então, Equation .

Passo 8

Agora vamos pegar a igualdade Equation e elevar os dois lados a 2019:

Equation

Resposta

a) Equation

Equation

b) Equation e Equation

c) Equation . A matriz é Equation .

d) Equation

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