Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

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Enunciado

Seja Q uma matriz ortogonal 3 × 3 .

(a) Considere a matriz A = Q C Q T , onde

Determine explicitamente A 501 .

(b) Determine os autovalores da matriz Q B Q T , onde

Passo 1

(a) Sabemos que:

A 501 = Q C 501 Q T

E C 501 é a matriz C multiplicada por ela mesma 501 vezes!!!!

Pra questão ter pedido algo desse tipo, é porque com certeza vai aparecer algum padrão enquanto fazemos essas multiplicações, então não se assustem!

Vamos começar a multiplicar C por ela mesma:

Ou seja, a partir de agora, sempre que multiplicarmos por C de novo vamos obter a matriz nula.

Então:

E:

Passo 2

(b) Vamos dizer que:

A = Q B Q T

Lembra que o enunciado disse que Q é ortogonal??

Isso significa que:

Q - 1 = Q T

Então:

A = Q B Q T = Q B Q - 1

Por isso, pela definição, a matriz A é semelhante a matriz B.

E duas matrizes semelhantes tem os mesmos autovalores.

Logo, achar os autovalores de A = Q B Q T é a mesma coisa que achar os autovalores de B.

Como temos a matriz B, vamos calcular os autovalores dela.

Fazendo que:

det ⁡ B - λ I = 0

Ficamos com:

1 - λ 2 - λ 3 - λ = 0

E achamos os autovalores:

λ 1 = 1  

λ 2 = 2

λ 3 = 3

Resposta

(a)

(b) λ 1 = 1   , λ 2 = 2 e λ 3 = 3

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