Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

Ver Teoria

Enunciado

Seja A uma matriz n × n . Sabendo que A 3 = A então os únicos autovalores possíveis de A são:

a - 2 , 0 , 2

b - 1,0 , 1

c - 2 , 1 , 2

d - 3 , 1,0

Passo 1

Têm-se A 3 = A , então os autovalores de A 3 são necessariamente iguais aos autovalores de A certo? Caso contrário elas não seriam iguais :p

Se escrevermos a matriz na forma diagonalizada, temos:

A = P D P - 1

A 3 = P D 3 P - 1

Como a matriz D é uma matriz diagonal com os autovalores de A , elevar A ao cubo é simplesmente elevar os autovalores de A ao cubo. E para que a igualdade A = A 3 seja válida, precisamos que:

λ = λ 3

Onde λ é qualquer autovalor da matriz. Logo, temos:

λ = 1,0 , - 1

Resposta

Letra ( b )

Exercícios de Livros Relacionados

Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .
Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .