Exercícios Resolvidos de Energia Específica e escoamento sobre elevação

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Um canal circular em asfalto, com 75 cm de diâmetro, está escoando com meia carga a uma velocidade média de 3,4 m/s. Calcule (a) a vazão volumétrica, (b) o número de Froude e (c) a declividade crítica.

Dica: deduzir a expressão da energia específica para qualquer seção.

Passo 1

Neste exercício temos uma seção diferente de uma retangular, logo não podemos usar a expressão da profundidade crítica que calculamos. Portanto para encontrarmos a profundidade crítica deveremos relacionar a expressão que deduziremos e a fórmula de Manning.

No caso a letra a é resolvida claculando a vazão Q = V A

V = 3,4 m s

A = π 0,375 2 2 = 0,22   m ²

Q = 3,4 × 0,22 = 0,75   m ³ / s

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Passo 2

Neste exercício vamos deduzir a expressão da profundidade crítica em um caso geral e aplicar ao nosso problema. Ela será necessária para calcularmos as letras ( b ) e ( c ) .

Dada a equação da energia específica:

E = y + V ² 2 g

No nosso caso devemos escrever a velocidade como V = Q A . Logo,

E = y + Q ² 2 g A ²

Supondo Q constante e A = A ( y ) , vamos derivar ambos os lado em y d E d y = 1 - 2 Q ² 2 g 1 A ³ d A d y

d E d y = 1 - Q ² g 1 A ³ d A d y

Para encontrarmos a “área crítica”, d E d y = 0 ,

0 = 1 - Q ² g 1 A ³ d A d y

1 = Q ² g 1 A ³ d A d y

d A d y = g A ³ Q ²

Sendo d A = b 0 d y , em que b 0 é a largura do canal na superfície livre.

b 0 d y d y = g A ³ Q ²

A ³ = b 0 Q ² g

A área crítica é portanto:

A c = b 0 Q ² g 1 / 3

Lembrando que Q = V A

Podemos calcular a velocidade crítica V c

V c = g A c ³ b 0 1 / 2 A c = g A c b 0 1 / 2

O interessante da velocidade crítica é que podemos tirar as seguintes conclusões sobre a profundidade crítica:

V < V c ,     y > y c : e s c o a m e n t o   s u b c r í t i c o ,   F r < 1

V = V c ,     y = y c : e s c o a m e n t o   c r í t i c o ,   F r = 1

V > V c ,     y < y c : e s c o a m e n t o   s u p e r c r í t i c o ,   F r > 1

Pela expressão do número de Froude, podemos concluir que

F r = V g y = V V c

Logo nosso número de Froude do exercício depende da velocidade crítica:

V c = g A c b 0 1 / 2 = 9,81 × 0,22 0,75 1 / 2

V c = 1,7   m / s

Logo o Froude é

F r = V V c = 3,4 1,7 = 2

Passo 3

Agora aplicaremos a expressão da velocidade crítica a fórmula de Manning para descobrirmos a declividade crítica:

V = R h 2 / 3 S 0 1 / 2 n   o u   S c = V c ² n ² R h 4 / 3

S c = g A c b 0 n R h 2 / 3 2

Que após algumas manipulações e substituições ficamos com a relação abaixo:

S c = n ² g R h 1 / 3 P m b 0 = f 8 P m b 0

n do asfalto é 0,016 e vamos utilizar a relação:

S c = V c ² n ² R h 4 / 3

Calcularemos R h :

R h = π R ² 2 π R = R 2 = 0,1875   m

Logo a declividade é igual a:

S c = 1,7 ² 0,016 ² 0,1875 4 / 3 = 0,0069

Resposta

a   Q = 0,75 m 3 s

b   F r = 2

c   S c = 0,0069

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