Exercícios Resolvidos de Energia Específica e escoamento sobre elevação

Fox, McDonald, Pritchard. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Gen LTD Editora, 2014, pp. 774, ex. 11.15

Para um canal retangular de largura b = 20 m, construa uma família de curvas de energia específica para Q = 0,25, 75, 125 e 200 m³/s. Quais são as energias específicas mínimas para essas curvas?

Passo 1

Nesse exercício, vamos entender melhor o comportamento da energia específica no canal retangular.

Escrevendo a equação da energia em função da profundidade do escoamento e considerando que a pressão não variae que não há perda por atrito, temos

E = y + V ² 2 g

Podemos escrever a energia em função da vazão, usando V = Q / A . Como nosso caso é um canal retangular

V = Q b y

E assim, atualizando a equação da energia

E = y + Q ² 2 g b ² y ²

Sabemos que g é a gravidade e o comprimento b é 20 m

E = y + Q ² 2 × 9,8 × 20 ² y ²

E = y + Q ² 7840 y ²

Bem, essa é a equação, mas o enunciado pede uma família dela! Vamos conseguir várias curvas pois para cada uma delas vamos substituir uma vazão Q diferente (também dada no enunciado). Beleza?

As curvas da família são

E = y + 0 ² 7840 y ²

E = y + 25 ² 7840 y ²

E = y + 7 5 ² 7840 y ²

E = y + 12 5 ² 7840 y ²

E = y + 200 ² 7840 y ²

Lembrando que o formato geral dessas curvas é

Para fazer as diferentes famílias de curvas, vamos montar uma tabela com as energias específicas para cada vazão volumétrica.

Com isso, já podemos montar o gráfico. Mas antes, atenção! A energia específica fica no eixo x e a profundidade no eixo y! Se colocar ao contrário, o formato da curva vai ficar diferente. Vamos ficar atentas!

A forma dessas curvas é a mesma que vimos na teoria. Deu tudo certo! Repara que quanto maior a vazão, maior é a energia específica mínima (o ponto em que a curva muda de direção)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O exercício também pediu a energia específica mínima de cada curva. Como se trata de uma energia mínima, ela está associada ao ponto em que a derivada é zero, certo? Logo, é energia específica da profundidade crítica y c

A profundidade crítica do canal retangular é

y c = Q 2 g b 2 1 / 3

y c = Q 2 9,8 × 20 2 1 / 3 = Q 2 3920 1 / 3

Substituindo na equação da energia para o canal retangular de 20 m de comprimento

E c = y c + Q ² 7840 y c ²

E c = Q 2 3920 1 / 3 + Q ² 7840 Q 2 3920 1 / 3 2

Organizando

E c = Q 2 3920 1 / 3 + Q ² 7840 3920 2 / 3 Q 4 / 3

E c = Q 2 3920 1 / 3 + ( 3920   Q ) 2 / 3 7840

E c = 0,06342   Q 2 / 3 + 0,0 3171   Q 2 / 3

E c = 0,0 9513   Q 2 / 3

Para Q   =   0 m 3 / s → E c = 0   m

Para Q   =   25 m 3 / s → E c = 0 , 813   m

Para Q   =   75 m 3 / s → E c = 1,692   m

Para Q   =   12 5 m 3 / s → E c = 2,378   m

Para Q   =   200 m 3 / s → E c = 3,253   m

E assim, vemos que quanto maior a vazão, maior a energia específica mínima associada ao ponto crítico, conforme esperávamos pelo gráfico.

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