Exercícios Resolvidos de Energia Potencial

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Enunciado

03) Um disco homogêneo, de massa m e raio R , pode rolar sem escorregar sobre uma superfície plana horizontal que está fixa com respeito a um referencial inercial. A mola linear, de rigidez k e comprimento natural L , está vinculada a uma base fixa em A e ao disco em seu centro C . Seja θ o ângulo entre A C e a vertical A O , indicado na figura. Pede-se:

a) O diagrama de corpo livre para o disco.

b) As expressões, em termos de θ e θ ˙ , do vetor posição ( C - A ) , da velocidade do ponto C e da velocidade angular do disco.

c) A expressão da energia cinética do sistema.

d) A expressão da energia potencial do sistema.

e) Considerando que o sistema parta do repouso na configuração θ = arccos ⁡ 3 5 , determine o vetor de rotação do disco quando o sistema atingir pela primeira vez a configuração θ = 0 .

Dado: para o disco, J C z = m R 2 / 2 .  

Passo 1

Faaaala galerinha do bem, como vocês estão?

Essa questão é bem interessante, o enunciado dela traz algumas informações meio escondidas, então vamos analisar com calma.

Basicamente, temos um disco cujo centro está preso a uma mola alongada. Esse disco se apoia em uma superfície, e rola sem escorregar.

Essa última informação é fundamental, pra um disco rolar sem escorregar a velocidade tem que ser nula no ponto de contato, ou seja, em B . Isso só vai acontecer se existir um atrito agindo nesse ponto. Assim, como o disco está transladando na direção ( - i → ) devido à força elástica, o atrito aponta na direção i → .

Tudo isso enquanto também rotaciona com centro instantâneo de rotação em B.

a) O objetivo desse primeiro item é determinarmos o diagrama de corpo livre (DCL) do nosso disco.

O bizu pra desenhar DCL é começar identificando as forças que agem no corpo.

No caso do nosso disco, temos a força peso agindo no seu centro C , a normal e o atrito agindo no contato B , e também a força elástica da mola puxando o disco através do ponto C . Logo:

Massa!!

Passo 2

b) Aqui devemos calcular o vetor posição C - A , a velocidade do ponto C e a velocidade angular do disco em função de θ e θ ˙ .

Bora começar por C - A . Usando as direções i → e j → , temos:

C - A = a i → + L j →

Onde a representa a distância horizontal entre C e A . Daí:

Pela figura acima, sabemos que:

a = L t g θ

Logo:

C - A = L t g θ i → + L j →

C - A = L ( t g θ i → + j → )

Massa! Pra determinar a velocidade do ponto C , podemos derivar o vetor posição. Assim:

v → C = L t g θ i → + j → '

v → C = L ⋅ 1 cos 2 ⁡ θ ⋅ θ ˙ i → + 0 ⋅ j →

Portanto:

v → C = L cos 2 ⁡ θ ⋅ θ ˙ i →

Bouaa! Pra terminar esse item só precisamos determinar a velocidade angular do disco.

Mas pô, não apareceu velocidade angular em nenhuma dessas equações, e agora?

A sacada é lembrar que B é centro instantâneo de rotação, assim também podemos escrever:

v → C = ω → × C - B

⇒ v → C = ω k → × R j →

v → C = - ω R i →

Igualando as duas expressões, temos:

L cos 2 ⁡ θ ⋅ θ ˙ i → =   - ω R i →

∴ ω → =   - L θ ˙ R cos 2 ⁡ θ k →

Prontinho 😊

Passo 3

c) Devemos determinar a energia cinética do sistema.

O problema é que esse disco tá rolando, será que dá pra ignorar esse fato?

Nãaao, né pessoal? Precisamos considerar a energia cinética como sendo a soma de duas parcelas:

E c i n = E t r a n s l a ç ã o + E r o t a ç ã o

Assim, lembrando que:

E r o t a ç ã o = 1 2 J C Z ω 2

Logo:

E c i n = 1 2 m ⋅ v C 2 + 1 2 J C Z ω 2

J C Z é dado e vale m R 2 / 2 . Substituindo os dados, vem:

⇒ E c i n = 1 2 m ⋅ L cos 2 ⁡ θ ⋅ θ ˙ 2 + 1 2 ⋅ m R 2 2 ⋅ - L θ ˙ R cos 2 ⁡ θ 2  

E c i n = m L 2 θ ˙ 2 2 cos 4 ⁡ θ + m L 2 θ ˙ 2 4 cos 4 ⁡ θ

Por fim:

E c i n =   3 m L 2 θ ˙ 2 4 cos 4 ⁡ θ  

Passo 4

d) Agora vamos determinar a expressão da energia potencial do nosso sistema.

Basicamente, vamos ter dois tipos de contribuição: E e l á s t i c a p o t , E g r a v i t a c i o n a l p o t .

Assim:

E p o t = E e l + E g

Bora começar calculando a parcela elástica. Ela segue a fórmula:

E e l = 1 2 k δ 2

Onde δ é a deformação da mola.

Assim, temos:

c o s θ = L L + δ

∴ δ = L 1 - 1 c o s θ

Substituindo na nossa expressão para a energia, vem:

E e l = 1 2 k ⋅ L 1 - 1 c o s θ 2

E e l = 1 2 k L 2 ⋅ 1 - 1 c o s θ 2

Massa! Já o caso da E G é um pouco diferente. O que acontece é que em geral não calculamos um valor absoluta dessa energia, mas sim uma variação em relação a um certo nível de altura convencionado como referencial.

Só que, como o disco rola sobre a superfície, o seu centro sempre estará à mesma distância de qualquer nível que convencionarmos como referencial. Sendo assim, durante o movimento não haverá variação de E G e podemos considerá-la nula desde o início 😊

Portanto:

E p o t = E e l

E p o t =   1 2 k L 2 ⋅ 1 - 1 c o s θ 2

Bouaa! Já vamo pro último item!!

Passo 5

e) Pra encerrar a questão, precisamos determinar o vetor rotação do disco, ω → , quando o disco passa pela primeira vez na posição θ = 0 , sabendo que θ 0 = arccos ⁡ 3 5 .

Um negócio legal de perceber é que, se a superfície tiver comprimento longo o suficiente, o disco irá realizar um movimento oscilatório, tipo um M H S .

Bom, voltando à questão, precisamos ter um pouco de malandragem também. Pelo enunciado vemos que os itens estão nos direcionando para uma abordagem por energia, então é isso que vamos fazer!

Bora olhar o DCL do disco:

Temos basicamente 4 forças atuando. Quais delas realizarão trabalho?

Beleza, a normal nunca realiza trabalho! O peso só realiza trabalho se tiver deslocamento vertical, o que não ocorre. Agora cuidado:

O atrito até realizaria trabalho, mas como o disco rola sem escorregar, o ponto em que o atrito está agindo está sempre com v = 0 , é como se ele estivesse parado a cada instante, de modo que o trabalho do atrito é nulo também. Sacaram?

Portanto, só nos resta a força elástica, que é uma força conservativa. Assim, podemos conservar a energia entre o instante inicial e o final. Daí:

E s i s t = E c i n + E p o t

⇒   E s i s t = 3 m L 2 θ ˙ 2 4 cos 4 ⁡ θ +   1 2 k L 2 ⋅ 1 - 1 c o s θ 2  

Usando que θ 0 = arccos ⁡ 3 5 , e também que o sistema ainda está em repouso, vem:

E 0 s i s t = k L 2 2 ⋅ - 2 3 2

∴ E 0 s i s t = 2 K L 2 9

Quando tivermos θ = 0 , temos que E s i s t θ = 0 vale:

E s i s t θ = 0 = 3 m L 2 θ ˙ 2 4 ⋅ 1 4 + 1 2 k L 2 ⋅ 1 - 1 1 2

E s i s t θ = 0 = 3 m L 2 θ ˙ 2 4

Igualando as duas expressões, chegamos que:

E 0 s i s t = E s i s t θ = 0

⇒   2 k L 2 9 = 3 m L 2 θ ˙ 2 4  

Logo, isolando θ ˙ 2 , vem:

θ ˙ 2 = 8 k 27 m

Como o disco rola para a esquerda, θ ˙ < 0 , assim:

θ ˙ =   - 8 k 27 m

Mas, sabemos lá do item b), que:

ω → =   - L θ ˙ R cos 2 ⁡ θ k →

Substituindo, finalmente temos que:

ω → = L R ⋅ 8 k 27 m k →

Aeeee, matamos mais uma! Essa abordagem por energia é bem interessante né?

Valeu galera, até a próxima! Tamo junto 😊  

Resposta

a) Resolução no texto.

b) Resolução no texto.

c) E c i n =   3 m L 2 θ ˙ 2 4 cos 4 ⁡ θ  

d) E p o t =   1 2 k L 2 ⋅ 1 - 1 c o s θ 2

e) ω → = L R ⋅ 8 k 27 m k →

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