Exercícios Resolvidos de Equação da Quantidade de Movimento

Fox, McDonald, Pritchard. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Gen LTD Editora, 2014, pp. 206-207, ex. 4.67

(Adaptada) Um grande tanque, de altura h   =   1   m e diâmetro D   =   0,75   m , está fixado sobre uma plataforma rolante conforme mostrado. Água jorra do tanque por meio de um bocal de diâmetro d   =   15   m m . A velocidade uniforme do líquido saindo do bocal é, aproximadamente, V =   2 g y , em que y é a distância vertical do bocal até a superfície livre do líquido. Determine a tração no cabo para y   =   0,9   m .

Passo 1

Para começar, vamos escolher o volume de controle (VC)?

Dentro do volume de controle, precisamos incluir o tanque (que sofre a ação a força de tração) e a saída de água pelo bocal (já que conhecemos sua velocidade!).

Esse VC está destacado em vermelho na figura abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show! Vamos então para o Passo 2: utilizar a equação de momento linear!

Vamos usar a equação para o eixo x, pois a velocidade imediatamente na saída do bocal encontra-se apenas nessa direção. Além disso, é no eixo x que está a tração, que é quem precisamos encontrar.

Outra vantagem de analisar a conservação do momento linear no eixo x: não tem outra força atuando nele. :D A força peso atua no eixo y.

Então vamos lá! Assumindo escoamento permanente, fluido incompressível, pressão atmosférica atuando de forma simétrica no tanque e propriedades uniformes, podemos usar essa equação:

F x = m ˙ s a í d a . u s a í d a - m ˙ e n t r a d a . u e n t r a d a

No VC, não há uma vazão de entrada. Apenas saída.

F x = m �� s a í d a . u s a í d a

Sabemos que a velocidade na saída em x é u s a í d a = V =   2 g y . Além disso, a tração T é a única força atuando nesse eixo:

T = m ˙ s a í d a . V

Tá faltando encontrar essa vazão mássica. Para isso, podemos dizer que no fluido incompressível:

m ˙ s a í d a =   ρ . Q s a í d a

E a vazão volumétrica, por sua vez, é Q = V . A , então:

m ˙ s a í d a =   ρ . V . A s a í d a

A área de saída é a área do bocal circular de diâmetro d   =   15   m m . Convertendo para o sistema internacional: d   =   0,015   m

m ˙ s a í d a =   ρ V   π d 2 4 = 1000 .   V .   π .   ( 0,015 ) 2 4

m ˙ s a í d a =   0,1766   V

Voltando na equação do momento linear

T = m ˙ s a í d a . V     T = 0,1766 . V 2  

Como   V =   2 g y

  T = 0,1766 × 2 g y   T = 3,46 y

O enunciado pede a Tração quando y   =   0,9   m , logo:

  T = 3,46 × 0,9 = 3,12   N

Resposta

T =   3,12   N

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