Exercícios Resolvidos de Equações Cartesianas

UFRJ, Álgebra Linear, P4 - 2018.1, Questão 7

Considere o sistema abaixo:

Equation

Classifique em verdadeira ou falsa as afirmativas:

(I) O conjunto dos pontos (x,y) de Equation que satisfazem as equações de S é uma reta de Equation .

(II) O conjunto dos pontos (x,y,z) de Equation que satisfazem as equações de S é uma reta de Equation

(a) I é falsa e II é falsa.

(b) I é verdadeira e II é verdadeira.

(c) I é falsa e II é verdadeira.

(d) I é verdadeira e II é falsa.

Passo 1

Somando as duas equações do sistema S, vamos ter:

Equation

Equation

Substituindo em qualquer uma dessas equações, encontramos que:

Equation

Agora vamos ver as afirmativas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(I) O conjunto dos pontos (x,y) de Equation que satisfazem as equações de S é uma reta de Equation .

Se estamos no Equation , nossos pontos vão ser da forma (x,y). Substituindo os valores de x e y que encontramos no passo 1, vamos ter:

Equation

Isso é, ficamos com um único ponto em Equation .

Então a afirmativa é falsa, porque o conjunto de pontos (x,y) de Equation que satisfazem S se reduzem a um único ponto, que é o (0,0).

Passo 3

(II) O conjunto dos pontos (x,y,z) de Equation que satisfazem as equações de S é uma reta de Equation

Se estamos no Equation , com as duas equações de S só conseguimos fixar as duas primeiras coordenadas dos pontos, ou seja, vamos ficar com vários pontos da forma:

Equation

Sendo possível variar valor da terceira coordenada e ainda satisfazer o sistema, que não depende dela.

Nesse caso, temos uma reta em Equation .

Se você não conseguir visualizar isso espacialmente, note que:

Equation

Ou seja, temos o espaço gerado pelo vetor (0,0,1):

Equation

Esse espaço tem dimensão 1 e vimos que, quando a dimensão do espaço é 1, é porque se trata de uma reta.

Então a afirmativa II é verdadeira.

Resposta

(c) I é falsa e II é verdadeira.

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