Exercícios Resolvidos de Equações Cartesianas

Ver Teoria

Enunciado

Considere o sistema abaixo:

S = x + y = 0 x - y = 0

Classifique em verdadeira ou falsa as afirmativas:

(I) O conjunto dos pontos (x,y) de R 2 que satisfazem as equações de S é uma reta de R 2 .

(II) O conjunto dos pontos (x,y,z) de R 3 que satisfazem as equações de S é uma reta de R 3 .

(a) I é falsa e II é falsa.

(b) I é verdadeira e II é verdadeira.

(c) I é falsa e II é verdadeira.

(d) I é verdadeira e II é falsa.

Passo 1

Somando as duas equações do sistema S, vamos ter:

2 x = 0

x = 0

Substituindo em qualquer uma dessas equações, encontramos que:

y = 0

Agora vamos ver as afirmativas.

Passo 2

(I) O conjunto dos pontos (x,y) de R 2 que satisfazem as equações de S é uma reta de R 2 .

Se estamos no R 2 , nossos pontos vão ser da forma (x,y). Substituindo os valores de x e y que encontramos no passo 1, vamos ter:

x , y = 0,0

Isso é, ficamos com um único ponto em R 2 .

Então a afirmativa é falsa, porque o conjunto de pontos (x,y) de R 2 que satisfazem S se reduzem a um único ponto, que é o (0,0).

Passo 3

(II) O conjunto dos pontos (x,y,z) de R 3 que satisfazem as equações de S é uma reta de R 3 .

Se estamos no R 3 , com as duas equações de S só conseguimos fixar as duas primeiras coordenadas dos pontos, ou seja, vamos ficar com vários pontos da forma:

x , y , z = 0,0 , z

Sendo possível variar valor da terceira coordenada e ainda satisfazer o sistema, que não depende dela.

Nesse caso, temos uma reta em R 3 .

Se você não conseguir visualizar isso espacialmente, note que:

x , y , z = 0,0 , z = z 0,0 , 1

Ou seja, temos o espaço gerado pelo vetor (0,0,1):

< 0,0 , 1 >

Esse espaço tem dimensão 1 e vimos que, quando a dimensão do espaço é 1, é porque se trata de uma reta.

Então a afirmativa II é verdadeira.

Resposta

(c) I é falsa e II é verdadeira.