Exercícios Resolvidos de Equações Cartesianas

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Enunciado

Determine se é ponto, reta ou plano o conjunto representado pela(s) equação(ões):

a   x = 4 em R 2

b   x = - 1 em R

c   y = 3 em R 3

d   x + y = 2 em R 2

e   x - y = - 1 em R 3

f   x = 5 y = - 2   em   R 2

g   x = - 5 y = 2 em R 3

h   x - y = - 5 y = 2 em R 3

Passo 1

Letra ( a )

Como podemos ver, x não é uma variável livre, mas y sim. Como temos apenas uma variável livre no R 2 , trata-se de uma reta.

n o v . l . + n o   v . d .   = dim ⁡ R 2 ⇒

n o v . l . + 1   = 2 ⇒

n o v . l . = 1

Letra ( b )

Como podemos ver, em R existe apenas um eixo, no caso ele deve ser o x , pois o exercício impõe a condição x = - 1 e se fosse o eixo y não teria aonde marcar rs. Então, no eixo x , marcamos “o lugar” x = - 1 . Isso se trata em um ponto! É o “equivalente” a marcar o ponto ( - 1,0 ) no R 2 , lembrando que mesmo fazendo isso, não se trata do mesmo ponto. Da pra verificar pela nossa fórmula também!

n o v . l . + n o   v . d .   = dim ⁡ R ⇒

n o v . l . + 1 = 1 ⇒

n o v . l . = 0

Letra ( c )

Agora repare que temos 3 variáveis a nossa disposição! Entretanto, o exercício só determinou o valor de uma! Enquanto as outras não possuem valores. Sendo assim:

n o v . l . + n o   v . d .   = dim ⁡ R 3

n o v . l . + 1 = 3 ⇒

n o v . l . = 2

Como podemos ver, o número de variáveis livres é 2 e, portanto, a dimensão do espaço formado é 2 . Sendo assim, trata-se de um plano.

Passo 2

Letra ( d )

Bom, agora trata-se de uma equação, o que faremos??!!

Bom percebe que você pode reescrever a equação assim:

x = 2 - y

Acho que assim fica mais fácil de ver. Perceba, que desse jeito estamos isolando o x , ou seja, o x depende dos valores de y . E, por sua vez, y não depende de ninguém. Sendo assim, y é a variável livre e x a dependente. Se você ainda não conseguiu ver o número de variáveis livre, é só jogar na fórmula! Mas sabendo, que é 1 , já que estamos no R 2 , trata-se de uma reta!

Letra ( e )

Bom aqui é a mesma coisa da letra ( d ) , só que agora estamos no R 3 ! Então mesmo fazendo:

x = - 1 + y

Podemos ver que temos 2 variáveis livres! O y , ai nesse caso (mas nada te impede de fazer o contrário e chamar x de livre e y de dependente) e o z , que mesmo não aparecendo na equação é uma variável livre. Logo, podemos ver que se trata de um plano no R 3

Letra ( f )

Bom, podemos ver que x , y possuem valores definidos e, assim, não possuímos variáveis livres! Logo, trata-se de um ponto.

Passo 3

Letra ( g )

Ahhh essa é fácil! Mesma coisa da letra ( f ) . Dois valores definidos para nossas variáveis, então é um ponto né?? NÃOOO! Lembre-se do espaço que você está situado, agora se trata do R 3 !! Então, mesmo o x e y com valores definidos o z ainda é livre. Então, trata-se de uma reta.

Letra ( h )

Podemos ver no sistema que y possui um valor real e x depende de y , sendo assim x também é um valor real:

y = 2 ,   x = - 3

E como estamos no R 3 , é o mesmo caso da letra anterior, então é uma reta.

Resposta

a   Reta

b   Ponto

c   Plano

d   Reta

e   Plano

f   Ponto

g   Reta

h   Reta