Exercícios Resolvidos de Equações Cartesianas

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 22 – Fix. 1.3

Determine se é ponto, reta ou plano o conjunto representado pela(s) equação(ões):

Equation em Equation

Equation em Equation

Equation em Equation

Equation em Equation

Equation em Equation

Equation em Equation

Equation em Equation

Equation em Equation

Passo 1

Letra Equation

Como podemos ver, Equation não é uma variável livre, mas Equation sim. Como temos apenas uma variável livre no Equation , trata-se de uma reta.

Equation

Equation

Equation

Letra Equation

Como podemos ver, em Equation existe apenas um eixo, no caso ele deve ser o Equation , pois o exercício impõe a condição Equation e se fosse o eixo Equation não teria aonde marcar rs. Então, no eixo Equation , marcamos “o lugar” Equation . Isso se trata em um ponto! É o “equivalente” a marcar o ponto Equation no Equation , lembrando que mesmo fazendo isso, não se trata do mesmo ponto. Da pra verificar pela nossa fórmula também!

Equation

Equation

Equation

Letra Equation

Agora repare que temos Equation variáveis a nossa disposição! Entretanto, o exercício só determinou o valor de uma! Enquanto as outras não possuem valores. Sendo assim:

Equation

Equation

Equation

Como podemos ver, o número de variáveis livres é Equation e, portanto, a dimensão do espaço formado é Equation . Sendo assim, trata-se de um plano.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra Equation

Bom, agora trata-se de uma equação, o que faremos??!!

Bom percebe que você pode reescrever a equação assim:

Equation

Acho que assim fica mais fácil de ver. Perceba, que desse jeito estamos isolando o Equation , ou seja, o Equation depende dos valores de Equation . E, por sua vez, Equation não depende de ninguém. Sendo assim, Equation é a variável livre e Equation a dependente. Se você ainda não conseguiu ver o número de variáveis livre, é só jogar na fórmula! Mas sabendo, que é Equation , já que estamos no Equation , trata-se de uma reta!

Letra Equation

Bom aqui é a mesma coisa da letra Equation , só que agora estamos no Equation ! Então mesmo fazendo:

Equation

Podemos ver que temos Equation variáveis livres! O Equation , ai nesse caso (mas nada te impede de fazer o contrário e chamar Equation de livre e Equation de dependente) e o Equation , que mesmo não aparecendo na equação é uma variável livre. Logo, podemos ver que se trata de um plano no Equation

Letra Equation

Bom, podemos ver que Equation possuem valores definidos e, assim, não possuímos variáveis livres! Logo, trata-se de um ponto.

Passo 3

Letra Equation

Ahhh essa é fácil! Mesma coisa da letra Equation . Dois valores definidos para nossas variáveis, então é um ponto né?? NÃOOO! Lembre-se do espaço que você está situado, agora se trata do Equation !! Então, mesmo o Equation e Equation com valores definidos o Equation ainda é livre. Então, trata-se de uma reta.

Letra Equation

Podemos ver no sistema que Equation possui um valor real e Equation depende de Equation , sendo assim Equation também é um valor real:

Equation

E como estamos no Equation , é o mesmo caso da letra anterior, então é uma reta.

Resposta

Equation Reta

Equation Ponto

Equation Plano

Equation Reta

Equation Plano

Equation Ponto

Equation Reta

Equation Reta

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