Exercícios Resolvidos de Escoamento Anular entre Tubos Concêntricos

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Enunciado

(Adaptado) Um arranjo de tubos concêntrico, para o qual os diâmetros interno e externo são 80   m m e 100   m m , respectivamente, é usado para remover calor de uma reação bioquímica ocorrendo em um tanque de repouso.

Calor é gerado uniformemente no interior do tanque a uma taxa de 10 5   W / m 2 e uma vazão de 0,2   k g / s de água é alimentada na região anular.

Determine a temperatura de entrada da água vinda do suprimento que irá manter uma temperatura da superfície do tanque média de 37 ° C . Suponha escoamento e condições térmicas plenamente desenvolvidas.

Utilize as seguintes propriedades para a água:

ρ = 995,6   k g / m 3

c p = 4178   J / ( k g . K )

υ = 7,987 × 10 - 7   m 2 / s

k = 0,618   W / ( m . K )

P r = 5,39

Passo 1

O drama aqui é que não temos nem a temperatura de entrada T m , e n t e nem a de saída T m , s a i , então precisamos dar um jeito de encontra-las.

Bom, a taxa de calor transferida para a água é dada por:

q = m ˙ . c p . T m , s a i - T m , e n t

O problema nos deu o calor gerado na superfície interna, e sabemos que a superfície externa é termicamente isolada q e ' ' = 0 .

Dessa forma, a taxa de transferência de calor será:

q = q ˙ . π . D i 2 4 . L = 1 × 10 5 × π × 80 × 10 - 3 2 4 × 1

q = 503   W

Ao mesmo tempo, podemos associar a taxa de transferência de calor entre o fluido e a superfície interna da seguinte forma:

q = h i . A s , 1 . T s - T m

Onde T m = T m , s a i + T m , e n t / 2 ..

Opa! Então podemos encontrar a temperatura média reorganizando a equação acima:

T m = T s - q h i . A s , 1

Ao encontrarmos a temperatura média, podemos encontrar as temperaturas de entrada e saída reorganizando a primeira equação que vimos:

T m , s a i = T m , e n t + q m ˙ . c p

T m = T m , s a i + T m , e n t 2

Ou seja, precisamos do danado do coeficiente convectivo na superfície interna h i .

Passo 2

Começando pelo número de Reynolds, temos que:

R e D = m ˙ . D h A t r . μ

Onde:

D h = D e - D i = 100 - 80 = 20   m m

D h = 0,02   m

A t r = π . D e 2 - D i 2 4 = π × 0,1 2 - 0,08 2 4

A t r = 2,827 × 10 - 3   m 2

μ = ρ . υ = 995,6 × 7,987 × 10 - 7

μ = 7,95 × 10 - 4   N . s / m 2

Substituindo na expressão do número de Reynolds:

R e D = 0,2 × 0,02 2,827 × 10 - 3 × 7,95 × 10 - 4 → R e D = 1779

Opa! Estamos no regime laminar! Como estamos trabalhando em um caso onde há fluxo térmico na superfície interna q i ' ' , e uma superfície externa termicamente isolada q e ' ' = 0 , temos que:

D i D e = 80 100 = 0,8

N u i i = 5,58

θ i * = 0,401

Logo:

N u i = N u i i 1 - q e ' ' q i ' ' . θ i * = 5,58 1 - 0 q i ' ' × 0,401

N u i = 5,58

Finalmente, o coeficiente convectivo será:

h i = N u i . k D h = 5,58 × 0,618 0,02

h i = 172   W / ( m 2 . K )

Passo 3

A temperatura média será:

T m = T s + q h i . A s , i = T s - q h i . π . D i . L

T m = 37 - 503 172 × π × 0,08 × 1

T m = 25,4 ° C

Passo 4

Agora que já temos a temperatura média, podemos encontrar a temperatura de entrada da seguinte forma:

T m = T m , s a i + T m , e n t 2 → T m , s a i = 2 . T m - T m , e n t

Substituindo isso na expressão abaixo, teremos:

T m , s a i = T m , e n t + q m ˙ . c p

2 . T m - T m , e n t = T m , e n t + q m ˙ . c p

Agora é só arrumar a bagunça.

2 . T m , e n t = 2 . T m - q m ˙ . c p

T m , e n t = T m - q 2 . m ˙ . c p

Substituindo os valores:

T m , e n t = 25,4 - 503 2 × 0,2 × 4178

Resposta

T m , e n t = 25,1 ° C

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