Exercícios Resolvidos de Escoamento Anular entre Tubos Concêntricos

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Enunciado

Considere um arranjo de tubos concêntricos, para o qual os diâmetros interno e externo são 80   m m e 100   m m , respectivamente. O tubo interno é denso e é um reator bioquímico que gera calor a uma taxa de 10 5   W / m 2 . O raio externo define uma região anular por onde escoa ar.

O conjunto está envolvido por um isolante com condutividade de 0,05   W / ( m . K ) com 10   m m de espessura. E todo o sistema está em uma sala a uma temperatura ambiente tal que a superfície externa do isolante esteja a 22 ° C . Qual a vazão de ar necessária para manter a superfície do reator a 30 ° C ?

Admita que o escoamento de ar seja plenamente desenvolvido. As propriedades termofísicas do ar são dadas pelo valor das propriedades a 300K.

Passo 1

De acordo com a tabela A.4 do Incropera, as propriedades do ar a 300   K são as seguintes:

k a = 0,0263   W / ( m . K )

P r a = 0,707

μ a = 184,6 × 10 - 7   k g / ( m . s )

Passo 2

Pra calcularmos a vazão de escoamento, precisamos do número de Reynolds, onde:

R e D = m ˙ . D h A t r . μ

Para encontrar o número de Reynolds, vamos precisar do número de Nusselt que, supondo escoamento turbulento, é dado por:

N u D = 0,023 . R e D 0,8 . P r 0,4

Para calcularmos o número de Nusselt, vamos precisar do coeficiente convectivo, dado por:

N u D = h . D h k

Finalmente, pra calcular o coeficiente convectivo, como o enunciado nos deu o fluxo térmico, podemos dizer que:

q ' ' . A = T r - T s e R c o n d + R c o n v

Onde T r corresponde à temperatura superficial do reator, T s e corresponde à temperatura da superfície externa, e R c o n d e R c o n v são as resistências térmicas de condução do isolante e convecção, dadas por:

R c o n d = ln ⁡ r 2 / r 1 2 π . L . k

R c o n v = 1 h . A

Ok! Agora vamos colocar isso tudo em prática, indo de trás para frente.

Passo 3

O coeficiente convectivo será dado por:

q ' ' . A = T r - T s e R c o n d + R c o n v = T r - T s e ln ⁡ r 2 / r 1 2 π . L . k + 1 h . A

Isolando o coeficiente convectivo, teremos:

ln ⁡ r 2 / r 1 2 π . L . k + 1 h . A = T r - T s e q ' ' . A

1 h . A = T r - T s e q ' ' . A - ln ⁡ r s e / r e 2 π . L . k

h = T r - T s e q ' ' - A . ln ⁡ r s e / r e 2 π . L . k - 1 = T r - T s e q ' ' - π . D i . L . ln ⁡ r s e / r e 2 π . L . k - 1

h = T r - T s e q ' ' - D i . ln ⁡ r s e / r e 2 k - 1

Substituindo os valores, onde D i = 8 0   m m = 0 , 08   m :

h = 30 - 22 10 5 - 0 , 08 × ln ⁡ 0 , 06 / 0 , 05 2 × 0,05 - 1

h = - 6,86   W / m 2 K

Obs.: O sinal negativo do coeficiente convectivo se dá pelo fato de que o ar está retirando calor da superfície externa. Na continuação dos cálculos, vamos usar o módulo desse valor.

Passo 4

O número de Nusselt será dado por:

N u D = h . D h k a

Onde D h = D e - D i = 100 - 80 = 20   m m = 0,02   m . Logo:

N u D = 6,86 × 0,02 0,0263 → N u D = 5,22

Passo 5

O número de Reynolds será dado por:

N u D = 0,023 . R e D 0,8 . P r 0,4

R e D = N u D 0,023 . P r 0,4 1 / 0,8

Substituindo os valores:

R e D = 5,22 0,023 × 0,707 0,4 1 / 0,8

R e D = 1047,65

Passo 6

Finalmente, a vazão mássica será dada por:

R e D = m ˙ . D h A t r . μ a → m ˙ = R e D . A t r . μ a D h

Onde:

A t r = π 4 . D e 2 - D i 2 = π 4 × 0,12 2 - 0,1 2

A t r = 3,45 × 10 - 3   m 2

Dessa forma:

m ˙ = R e D . A t r . μ a D h = 1047,65 × 3,45 × 10 - 3 × 184,6 × 10 - 7 0,02

Resposta

m ˙ = 3,33 × 10 - 3   k g / s

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